https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Handai/2023/Rikei

2023.11.27記

[1] $n$ を2以上の自然数とする．

(1) $0 \leqq x \leqq 1$ のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
$\dfrac{1}{2}x^n \leqq {(-1)}^n \left\{ \dfrac{1}{x+1}-1- \displaystyle\sum_{k=2}^n {(-x)}^{k-1} \right\} \leqq x^n-\dfrac{1}{2}x^{n+1}$
(2) $\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{{(-1)}^{k-1}}{k}$ とするとき，次の極限値を求めよ．
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}{(-1)}^nn(a_n-\log2)$

[2] 平面上の3点 $\mbox{O}$ ， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ が $|2\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}|=|\overrightarrow{\mbox{OA}}+2\overrightarrow{\mbox{OB}}|=1$ かつ $(2\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}})\cdot(\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}})=\dfrac{1}{3}$ をみたすとする．

(1) $(2\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}})\cdot(\overrightarrow{\mbox{OA}}+2\overrightarrow{\mbox{OB}})$ を求めよ．

(2)平面上の点 $\mbox{P}$ が $|\overrightarrow{\mbox{OP}}-(\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}})|\leqq\dfrac{1}{3}$ かつ $\overrightarrow{\mbox{OP}}\cdot(2\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}})\leqq\dfrac{1}{3}$ をみたすように動くとき， $|\overrightarrow{\mbox{OP}}|$ の最大値と最小値を求めよ．
[3] $\mbox{P}$ を座標平面上の点とし，点 $\mbox{P}$ の座標を $(a，b)$ とする． $-\pi \leqq t \leqq \pi$ の範囲にある実数 $t$ のうち，曲線 $y=\cos x$ 上の点 $(t，\cos t)$ における接線が点 $\mbox{P}$ を通るという条件をみたすものの個数を $N(\mbox{P})$ とする． $N(\mbox{P})=4$ かつ $0\lt a\lt \pi$ をみたすような点 $\mbox{P}$ の存在範囲を座標平面上に図示せよ．

[4] $a$ ， $b$ を $a^2+b^2\gt 1$ かつ $b \neq 0$ をみたす実数の定数とする．座標空間の点 $\mbox{A}(a，0，b)$ と点 $\mbox{P}(x，y，0)$ をとる．点 $\mbox{O}(0，0，0)$ を通り直線 $\mbox{AP}$ と垂直な平面を $\alpha$ とし，平面 $\alpha$ と直線 $\mbox{AP}$ との交点を $\mbox{Q}$ とする．