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2023年(令和5年)大阪大学-数学(文系)[1]

2023.11.27記

[1] $a$ ， $b$ を実数とする． $\theta$ についての方程式
$\cos2\theta=a\sin\theta=b$
が実数解をもつような点 $(a，b)$ の存在範囲を座標平面上に図示せよ．

包絡線の知識を知っていれば
$ab$ 平面の直線 $b=-(\sin\theta)a+\cos2\theta$
は $a=-4\sin\theta$ で $b=\dfrac{a^2}{8}+1$ に接することから，答を確認できる．

2023.11.27記

[解答]
$\sin\theta=t$ とおくと
$b=-2t^2-at+1=-2\left(t-\dfrac{a}{4}\right)^2+\dfrac{a^2}{8}+1=:f(t)$
の $-1\leqq t\leqq 1$ における値域を求めれば良く，それは
$\min\{f(-1),f(1)\}\leqq b\leqq \min\{f(-1),f(1),f(a/4)\}$
（但し $f(a/4)$ は $-1\leqq \dfrac{a}{4} \leqq 1$ の場合だけ）
となる． $f(-1)=a-1$ ， $f(1)=-a-1$ ， $f(a/4)=\dfrac{a^2}{8}+1$ により

$a\leqq -4$ のとき $a-1\leqq b\leqq -a-1$

$-4\leqq a\leqq 0$ のとき $a-1\leqq b\leqq\dfrac{a^2}{8}+1$

$0\leqq a\leqq 4$ のとき $-a-1\leqq b\leqq\dfrac{a^2}{8}+1$

$4\leqq a$ のとき $-a-1\leqq b\leqq a-1$

となり，これを図示すれば良い（図示略）

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