https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Handai/2022/Rikei

2022.03.01記

[5] 座標平面において， $t$ を媒介変数として
$x=e^t\cos t+e^{\pi}$ ， $y=e^t\sin t$ （ $0\leqq t\leqq \pi$ ）
で表される曲線を $C$ とする．曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

2022.03.01記
そのままだと極表示の面積公式やガウスグリーンの定理を使わせにくくするために平行移動したものの、もとに戻せばアホみたいな問題になる。

考えなしに計算せずに式を良くみて考えろ、ということなのだろう。

[解答] 曲線 $C$ を $x$ 軸方向に $-e^{\pi}$ 平行移動することにより，

曲線 $D:$ $x=e^t\cos t$ ， $y=e^t\sin t$ （ $0\leqq t\leqq \pi$ ）と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めれば良く， $D$ の極表示が $r=e^{\theta}$ となることから，求める面積は
$\displaystyle \int_0^{\pi} \dfrac{1}{2}e^{2\theta}d\theta$ $=\left[\dfrac{1}{4}e^{2\theta}\right]_0^{\pi}$ $=\dfrac{1}{4}(e^{2\pi}-1)$
となる．

考えなしにガウスグリーンの定理を使うと
$\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\pi} \{ (e^t\cos t+e^{\pi})(e^t\sin t+e^t\cos t) -e^t\sin t(e^t\cos t-e^t\sin t) \}dt$ $=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\pi} \{ e^{2t}+ (e^{\pi})(e^t\sin t+e^t\cos t) \}dt$
$=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\pi} \{ e^{2t}+ (e^{\pi}) \dfrac{dy}{dt}\}dt$
$=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{2}e^{2t} +e^{\pi} y(t)\right]_0^{\pi}$
$=\dfrac{1}{4}(e^{2\pi}-1)$ (∵ $y(0)=y(\pi)=0$ )
と少々面倒になる．