https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Handai/2022/Bunkei

2022.03.06記

[1] 三角形 $\rm ABC$ において，辺 $\rm AB$ を $2: 1$ に内分する点を $\rm M$ ，辺 $\rm AC$ を $1:2$ に内分する点を $\rm N$ とする．また，線分 $\rm BN$ と線分 $\rm CM$ の交点を $\rm P$ とする．

(1) $\vec{\rm AP}$ を $\vec{\rm AB}$ と $\vec{\rm AC}$ を用いて表せ．

(2) 辺 $\rm BC$ ， $\rm CA$ ， $\rm AB$ の長さをそれぞれ $a,b,c$ とするとき，線分 $\rm AP$ の長さを $a,b,c$ を用いて表せ．

2022.03.06記
チェバの定理とメネラウスの定理は加重重心として1つの定理にまとめることができ，その結果，本問の場合は $\rm A,B,C$ に $2,4,1$ の重りをぶらさげるとつりあうので， $\vec{\rm AP}=\dfrac{4}{7}\vec{\rm AB}+\dfrac{1}{7}\vec{\rm AC}$ が成立する．

[解答]

(1) $\vec{\rm AM}=\dfrac{2}{3}\vec{\rm AB}$ ， $\vec{\rm AN}=\dfrac{1}{3}\vec{\rm AC}$ である．

$\vec{\rm AP}=(1-t)\vec{\rm AB}+t\vec{\rm AN}$ とおくと，
$\vec{\rm AP}=(1-t)\cdot\dfrac{3}{2}\vec{\rm AM}+t\cdot\dfrac{1}{3}\vec{\rm AC}$
となるが， $\rm P$ が $\rm CM$ 上にあるので
$1=\dfrac{3(1-t)}{2}+\dfrac{t}{3}$ ，
つまり $t=\dfrac{3}{7}$ が成立する．よって
$\vec{\rm AP}=(1-t)\vec{\rm AB}+t\cdot\dfrac{1}{3}\vec{\rm AC}$ $\dfrac{4}{7}\vec{\rm AB}+\dfrac{1}{7}\vec{\rm AC}$

(2) $a^2=|\vec{\rm AC}-\vec{\rm AB}|^2$ $=b^2+c^2-2\vec{\rm AB}\cdot\vec{\rm AC}$ であるから，
$49|\vec{\rm AP}|^2=16c^2+b^2+8\vec{\rm AB}\cdot\vec{\rm AC}$ $=16c^2+b^2+4(b^2+c^2-a^2)$ $=-4a^2+5b^2+20c^2$
となり，
$|\vec{\rm AP}|=\dfrac{1}{7}\sqrt{-4a^2+5b^2+20c^2}$
となる．