1978年(昭和53年)千葉大学-数学(文系)[x]

2025.04.06記

[x] $x^2-x+1=0$ の2つの解を $\alpha$ ， $\beta$ とするとき， $f(\alpha)=\beta$ ， $f(\beta)=\alpha$ ， $f(1)=1$ をみたすような2次式 $f(x)$ は $□ x^2+□x+□$ である．

本問のテーマ

因数を無理矢理作る

2025.04.06記

[解答]
解と係数の関係により $\alpha+\beta=1$ である．よって $g(x)=f(x)+x-1$ とおくと $g(\alpha)=g(\beta)=0$ （ $\alpha\neq\beta$ ）となるので， $g(x)=A(x-\alpha)(x-\beta)=A(x^2-x+1)$ と書ける． $g(1)=f(1)+1-1=1$ により $A=1$ だから， $f(x)=x^2-x+1-x+1=\fbox{1}\,x^2+\fbox{-2}\,x+\fbox{2}$ となる．

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