https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Boui/2024

2024.02.20記

[7] 座標平面上に点 $\mbox{A}(1，0)$ がある．原点を $\mbox{O}$ とし，0より大きい整数 $n$ に対して点 $\mbox{P}_k$ の座標を $\left(0，\dfrac{k}{n}\right)$ とする（ $k=1，2，…，n$ ）．このとき，以下の問に堪えよ．

(1) $\triangle\mbox{AOP}_k$ の外接円の面積を $b_k$ としたとき， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac{b_k}{n}$ はいくらか．

(2)(i) 実数 $x$ について， $\sqrt{1+x^2}+x=t$ とおいたとき， $\sqrt{1+x^2}$ を $t$ で表せ．

(ii) 定積分 $\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1+x^2}dx$ の値を求めよ．

(3) $\triangle\mbox{AOP}_k$ の内接円の半径を $c_k$ としたとき， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac{c_k}{n}$ はいくらか．

テーマは双曲線のパラメータ表示と $\sqrt{1+x^2}$ の積分．
$\displaystyle\int\sqrt{1+x^2}dx=\int ydx$
と考えれば， $1+x^2=y^2$ つまり双曲線 $y^2-x^2=1$ の面積を求める形になっている．
この双曲線のパラメータ表示 $(x,y)=(p(t),q(t))$ が与えられれば，
$\displaystyle\int\sqrt{1+x^2}dx=\int q(t) p'(t)dt$
と置換できることがわかる．
例えば， $y=\dfrac{t+t^{-1}}{2}$ ， $x=\dfrac{t-t^{-1}}{2}$ とパラメータ表示したものが本問であり，
大学では $t=e^{\theta}$ とおいた $x=\sinh\theta$ ， $y=\cosh\theta$ （双曲線関数）を習う．

[解答]
(1) $\triangle\mbox{AOP}_k$ の外接円の半径は斜辺 $\triangle\mbox{AP}_k$ の長さの半分 $\dfrac{1}{2}\sqrt{1+\left(\dfrac{k}{n}\right)^2}$ だから，その面積 $b_k=\dfrac{\pi}{4}\left(1+\dfrac{k^2}{n^2}\right)$ となる．よって
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac{b_k}{n}$ $=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac{\pi}{4}\left(1+\dfrac{k^2}{n^2}\right)\cdot\dfrac{1}{n}$ $=\dfrac{\pi}{4}\displaystyle\int_0^1(1+x^2)dx=\dfrac{\pi}{3}$
となる．

(2)(i) $\dfrac{1}{t}=\sqrt{1+x^2}-x$ だから $\sqrt{1+x^2}=\dfrac{1}{2}\left(t+\dfrac{1}{t}\right)$ となる．

(ii) $x=\dfrac{t-t^{-1}}{2}$ だから $dx=\dfrac{1+t^{-2}}{2}dt$ となるので
$\displaystyle\int_0^1\sqrt{1+x^2}dx$
$=\displaystyle\int_1^{\sqrt{2}+1}\dfrac{t+t^{-1}}{2}\cdot\dfrac{1+t^{-2}}{2}dt$
$=\dfrac{1}{4}\displaystyle\int_1^{\sqrt{2}+1}(t+2t^{-1}+t^{-3})dt$
$=\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{t^2-t^{-2}}{2}+2\log |t|\right]_1^{\sqrt{2}+1}$
$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{1}{2}\log(1+\sqrt{2})$
となる．

(3) $\triangle\mbox{AOP}_k$ の内接円の半径は斜辺が $\triangle\mbox{AP}_k$ であることから
$\dfrac{\mbox{OA}+\mbox{OP}_k-\mbox{AP}_k}{2}$ $=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{k}{n}-\sqrt{1+\left(\dfrac{k}{n}\right)^2}\right)$ となるので，
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac{c_k}{n}$
$=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 (1+x+\sqrt{1+x^2})dx$
$=\dfrac{3}{4}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}-\dfrac{1}{4}\log(1+\sqrt{2})$
となる．

ちなみに
$\displaystyle\int\sqrt{1+x^2}dx$ $=\dfrac{x\sqrt{1+x^2}}{2}+\dfrac{1}{2}\log (x+\sqrt{1+x^2})+C$
となる．