https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/2026/03/25/215914

2026.03.25.記

[1] $m$ ， $n$ を $0\lt m\lt n$ をみたす整数とする． $\alpha$ ， $\beta$ を $0\lt\alpha\lt\dfrac{\pi}{2}$ ， $0\lt\beta\lt\dfrac{\pi}{2}$ ， $m=\tan\alpha$ ， $n=\tan\beta$ をみたす実数とする．以下の問に答えよ．

(1) $\tan\dfrac{7\pi}{12}$ の値を求めよ．

(2) $\alpha+\beta\gt\dfrac{7\pi}{12}$ であることを示せ．

(3) $\tan(\alpha+\beta)$ が整数となるような組 $(m，n)$ をすべて求めよ．

2026.03.25.記
三角形の内角の $\tan$ が全て整数となるのは $1，2，3$ の場合しかないので， $(m，n)=(1，2)$ ， $(1，3)$ ， $(2，3)$ が答となります．本問はその証明です．

[解答]
(1) $\tan\dfrac{7\pi}{12}$ $=\dfrac{\tan\dfrac{\pi}{3}+\tan\dfrac{\pi}{4}}{1-\tan\dfrac{\pi}{3}\tan\dfrac{\pi}{4}}$ $=\dfrac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}$ $=-2-\sqrt{3}$ である．

(2) $0\lt m\lt n$ から $m\geqq 1$ ， $n\geqq 2$ となるので， $\tan\alpha\geqq 1$ ， $\tan\beta\geqq 2\geqq \tan\dfrac{\pi}{3}$ となり， $\dfrac{\pi}{4}\lt\alpha\lt\dfrac{\pi}{2}$ ， $\dfrac{\pi}{3}\lt\beta\lt\dfrac{\pi}{2}$ となるので $\dfrac{7\pi}{12}\lt\alpha+\beta(\lt \pi)$ となる．

(3) (1)(2)により $-2-\sqrt{3}\lt\tan(\alpha+\beta)\lt 0$ であるから， $\tan(\alpha+\beta)=-1，-2，-3$ のいずれかである．

(i) $\tan(\alpha+\beta)=-1$ のとき：
$\dfrac{m+n}{1-mn}=-1$ から $(m-1)(n-1)=2$ となり， $m\geqq 1$ ， $n\geqq 2$ から $(m，n)=(2，3)$ となる．

(ii) $\tan(\alpha+\beta)=-2$ のとき：
$\dfrac{m+n}{1-mn}=-2$ から $(2m-1)(2n-1)=5$ となり， $m\geqq 1$ ， $n\geqq 2$ から $(m，n)=(1，3)$ となる．

(iii) $\tan(\alpha+\beta)=-3$ のとき：
$\dfrac{m+n}{1-mn}=-2$ から $(3m-1)(3n-1)=10$ となり， $m\geqq 1$ ， $n\geqq 2$ から $(m，n)=(1，2)$ となる．

以上から $(m，n)=(1，2)$ ， $(1，3)$ ， $(2，3)$ となる．

$\alpha，\beta，\gamma$ が三角形の内角のとき，
$\tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma=\tan\alpha\tan\beta\tan\gamma$
が成立します．

[うまい解答]
(3) $\gamma=\pi-(\alpha+\beta)$ とおくと， $\tan\gamma=1，2，3$ であり， $\alpha，\beta，\gamma$ を内角とする三角形が存在することから，
$\tan\gamma=l$ とおくと， $l+m+n=lmn$ が成立する．ここで $l，m，n$ は自然数である．

一般に $l，m，n$ は整数であり， $l+m+n=lmn$ ， $0\lt ml\leqq m\leqq n$ を満たす自然数の組は $lmn=l+m+n\lt 3n$ から $lm\lt 3$ となるので $(l，m)=(1，1)，(1，2)$ であり， $(l，m)=(1，1)$ のときは $n+2=n$ となり不適で $(l，m)=(1，2)$ のときは $n+3=2n$ となり $n=3$ となるので適し， $(l，m，n)=(1，2，3)$ となる．よって $l+m+n=lmn$ を満たす自然数は $\{l，m，n\}=\{1，2，3\}$ となる．よって $l=1，2，3$ に対する解として $(m，n)=(2，3)$ ， $(1，3)$ ， $(1，2)$ となる．