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2026.03.25.記

[5] $2$ つの科目 $X$ と $Y$ の試験を受けた $3$ 人の生徒の得点と，それぞれの科目の得点の平均値と標準偏差を以下のとおりとする．

	生徒１	生徒２	生徒３	平均値	標準偏差
科目 $X$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$\overline{x}$	$s_x$
科目 $Y$	$y_1$	$y_2$	$y_3$	$\overline{y}$	$s_y$

ただし， $s_x\neq0$ かつ $s_y\neq0$ とする．科目 $X$ と科目 $Y$ の得点の相関係数 $r$ は
$r=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^3(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^3(x_i-\overline{x})^2}\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^3(y_i-\overline{y})^2}}$
で与えられる．

座標空間内に $3$ 点 $\mbox{O}(0，0，0)$ ， $\mbox{A}(x_1，x_2，x_3)$ ， $\mbox{B}(y_1，y_2，y_3)$ をとる． $\mbox{O}$ を通り，方向ベクトルが $(1，1，1)$ の直線を $l$ とする． $l$ 上の点 $\mbox{P}$ を $\overrightarrow{\mbox{PA}}$ と $l$ が垂直になるようにとり， $l$ 上の点 $\mbox{Q}$ を $\overrightarrow{\mbox{QB}}$ と $l$ が垂直になるようにとる．以下の問に答えよ．

(1)　点 $\mbox{P}$ ，点 $\mbox{Q}$ の座標と内積 $\overrightarrow{\mbox{PA}}\bullet\overrightarrow{\mbox{QB}}$ を $\overline{x}$ ， $\overline{y}$ ， $s_x$ ， $s_y$ ， $r$ を用いて表せ．

(2) $a=\dfrac{|\overline{x}-\overline{y}|}{s_y}$ とおくとき， $\cos\angle\mbox{BPA}$ を $a$ と $r$ を用いて表せ．

(3) 点 $\mbox{A}$ と直線 $l$ を含む平面を $\alpha$ とする．平面 $\alpha$ 上の点 $\mbox{C}$ を $\overrightarrow{\mbox{PC}}=\overrightarrow{\mbox{PA}}+\overrightarrow{\mbox{PQ}}$ となるようにとる．点 $\mbox{B}$ は $\alpha$ 上にないとし， $\alpha$ 上の点 $\mbox{K}$ を $\overrightarrow{\mbox{KB}}$ と $\alpha$ が垂直になるようにとる．科目 $X$ と科目 $Y$ の得点の相関係数 $r$ が $0\lt r\lt\dfrac{s_x}{s_y}$ をみたすとき，点 $\mbox{K}$ は線分 $\mbox{QC}$ 上にあることを示せ．

本問のテーマ

相関係数と内積

2026.03.25.記
問題文の表は一部二重線が用いられていましたが，はてなブログで出すのが面倒だったので二重線は用いませんでした．

(1) $l$ に垂直な平面上では $x+y+z=(一定)$ ですから $\mbox{P}(\overline{x}，\overline{x}，\overline{x})$ となります．

(3) 線分の両端は含まない設定となっています．

[解答]
(1) $\vec{l}=(1，1，1)$ とおく． $\mbox{P}(p，p，p)$ とおくと $\overrightarrow{\mbox{PA}}$ と $l$ が垂直であるから， $\overrightarrow{\mbox{OP}}\bullet\vec{l}=\overrightarrow{\mbox{OA}}\bullet\vec{l}$ となり， $3p=x_1+x_2+x_3$ が成立するので $p=\overline{x}$ となる．よって， $\mbox{P}(\overline{x}，\overline{x}，\overline{x})$ となる．同様に $\mbox{Q}(\overline{y}，\overline{y}，\overline{y})$ となる．

このとき $\overrightarrow{\mbox{PA}}=(x_1-\overline{x}，x_2-\overline{x}，x_3-\overline{x})$ ， $\overrightarrow{\mbox{QB}}=(y_1-\overline{y}，y_2-\overline{y}，y_3-\overline{y})$ であるから， $s_x=\sqrt{\dfrac{1}{3}\displaystyle\sum_{i=1}^3(x_i-\overline{x})^2}$ ， $s_y=\sqrt{\dfrac{1}{3}\displaystyle\sum_{i=1}^3(y_i-\overline{y})^2}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PA}}\bullet\overrightarrow{\mbox{QB}}$ $=\displaystyle\sum_{i=1}^3(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})$ により， $\overrightarrow{\mbox{PA}}\bullet\overrightarrow{\mbox{QB}}$ $=3rs_xs_y$ となる．

(2) $|\overrightarrow{\mbox{PA}}|=\sqrt{3}s_x$ である．
$\overrightarrow{\mbox{PB}}=\overrightarrow{\mbox{PQ}}+\overrightarrow{\mbox{QB}}$ と $\overrightarrow{\mbox{PQ}}\perp\overrightarrow{\mbox{PA}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PQ}}\perp\overrightarrow{\mbox{QB}}$ から
$\overrightarrow{\mbox{PA}}\bullet\overrightarrow{\mbox{PB}}$ $=\overrightarrow{\mbox{PA}}\bullet\overrightarrow{\mbox{PB}}$ $=3rs_xs_y$ ，
$|\overrightarrow{\mbox{PB}}|=\sqrt{|\overrightarrow{\mbox{PQ}}|^2+|\overrightarrow{\mbox{QB}}|^2}$ $=\sqrt{3(\overline{x}-\overline{y})^2+3s_y^2}$ $=\sqrt{3}s_y\cdot \sqrt{a^2+1}$
となるので
$\cos\angle\mbox{BPA}$ $=\dfrac{\overrightarrow{\mbox{PA}}\bullet\overrightarrow{\mbox{PB}}}{|\overrightarrow{\mbox{PA}}|\cdot |\overrightarrow{\mbox{PB}}|}$ $=\dfrac{3rs_xs_y}{\sqrt{3}s_x\cdot\sqrt{3}s_y\sqrt{a^2+1}}$ $=\dfrac{r}{\sqrt{a^2+1}}$ となる．

(3) 点 $\mbox{B}$ から直線 $\mbox{AP}$ への垂線の足を $\mbox{L}$ とすると，点 $\mbox{K}$ が線分 $\mbox{QC}$ 上にあることと点 $\mbox{L}$ が線分 $\mbox{PA}$ 上にあることとは同値であり，それは $0\lt \overrightarrow{\mbox{PA}}\bullet\overrightarrow{\mbox{PB}}\lt |\overrightarrow{\mbox{PA}}|^2$ ，つまり $0\lt 3rs_xs_y\lt 3s_x^2$ ，つまり $0\lt r\lt \dfrac{s_x}{s_y}$ と同値である．

出題者の意図は，おそらく(3) を $0\lt \mbox{QK} \lt \mbox{QC}$ または $0\lt \mbox{PL} \lt \mbox{PA}$ によって導かせるためのヒントで，この場合， $0\lt \mbox{PL} \lt \mbox{PA}$ を用いると， $0\lt \mbox{PB}\cos\angle\mbox{BPA} \lt \mbox{PA}$ となり， $0\lt \sqrt{3}s_y\cdot\sqrt{a^2+1}\cdot\dfrac{r}{\sqrt{a^2+1}} \lt \sqrt{3}s_x$ から $0\lt r\lt \dfrac{s_x}{s_y}$ を導くことができます．しかし内積と正射影を結びつけることができていれば，(2)は余計なヒントになってしまいます．

このような不思議な出題になったのは，始点が異なるベクトル $\overrightarrow{\mbox{PA}}$ と $\overrightarrow{\mbox{QB}}$ のなす角度を考えるのが難しいと判断して， $\overrightarrow{\mbox{PA}}$ と $\overrightarrow{\mbox{PB}}$ のなす角度を経由させたからだと考えられます．