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2025.04.04記

[x] (1) 等式 $(x^2-ny^2)(z^2-nt^2)=(xz+nyt)^2-n(xt+yz)^2$ を示せ．

(2) $x^2-2y^2=-1$ の自然数解 $(x，y)$ が無限組であることを示し， $x\gt 100$ となる解を1組求めよ．

本問のテーマ

ペル(Pell)方程式
ブラーマグプタの恒等式

2025.04.04記
(1)の恒等式をブラーマグプタの恒等式と呼ぶ．

[解答]
(1) $(xz+nyt)^2-n(xt+yz)^2$ $=y^2t^2n^2+\{2xzyt-(xt+yz)^2\}n+x^2z^2$ $=y^2t^2n^2-(x^2t^2+y^2z^2)n+x^2z^2$ $=(ny^2-x^2)(nt^2-z^2)$
により成立する．

(2) (1)で $n=2$ ， $z=3$ ， $t=2$ とおくと
$(x^2-2y^2)\cdot 1=(3x+4y)^2-2(2x+3y)^2$
であるから， $(x_1，y_1)=(1，1)$ ， $(x_{n+1}，y_{n+1})=(3x_n+4y_n，2x_n+3y_n)$
とおくと， $x_1^2-2y_1^2=-1$ であるから，
$x_{n+1}^2-2y_{n+1}^2=x_n^2-2y_n^2=\cdots=x_1^2-2y_1^2=-1$
が成立し，また $x_{n+1}，y_{n+1}$ は帰納的に任意の自然数 $n$ に対して正となり，数列 $\{x_n\}$ は単調増加であるから自然数の組 $(x_n，y_n)$ は全ての自然数 $n$ に対して $x^2-2y^2=-1$ の互いに異なる自然数解を与える．

よって $x^2-2y^2=-1$ の自然数解 $(x，y)$ が無限組である．また $(x_2，y_2)=(7，5)$ ， $(x_3，y_3)=(41，29)$ ， $(x_4，y_4)=(239，169)$ であるから， $x\gt 100$ となる解の1つは $(x，y)=(239，169)$ である．