https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/2025/04/03/183038

2025.04.03記

[x] $\alpha$ ， $\beta$ は正の数で $\alpha+\beta\lt\dfrac{\pi}{2}$ とする．また $\dfrac{1}{\tan\alpha}$ ， $\dfrac{1}{\tan\beta}$ は整数で次の条件(イ)，(ロ)を満たしている．

(イ) $\tan(\alpha+\beta)\geqq\dfrac{1}{10}$

(ロ) $\dfrac{1}{\tan(\alpha+\beta)}$ ， $\dfrac{1}{\tan\alpha}$ ， $\dfrac{1}{\tan\beta}$ はこの順で等差数列をなす．

このとき， $\tan\alpha$ と $\tan\beta$ を求めよ．

本問のテーマ

ペル方程式

2025.04.03記

[解答]
$a=\dfrac{1}{\tan\alpha}$ ， $b=\dfrac{1}{\tan\beta}$ ， $c=\dfrac{1}{\tan(\alpha+\beta)}$
とおくと $\tan\alpha\lt\tan(\alpha+\beta)$ であるから $c\lt a$ であり，条件(イ)，(ロ)から
$c\leqq 10$ …①， $c\lt a\lt b$ …②， $b-a=a-c$ （ $d$ とおく）…③
が成立する．ここで $\dfrac{1}{\tan(\alpha+\beta)}$ $=\dfrac{1-\tan\alpha\tan\beta}{\tan\alpha+\tan\beta}$ により $c=\dfrac{ab-1}{a+b}$ ，つまり
$(a-c)(b-c)=c^2+1$
が成立する．よって③より $2d^2=c^2+1$ （これから $c$ は奇数），つまり
$d=\sqrt{\dfrac{c^2+1}{2}}$
が成立する．①より $c=1，3，5，7，9$ を代入することにより $(c，d)$ $=(1，1)$ ， $(7，5)$
となる．よって $(a，b)$ $=(c+d，c+2d)$ $=(2，3)$ ， $(12，17)$ となり，よって $(\tan\alpha，\tan\beta)$ $=\left(\dfrac{1}{2}，\dfrac{1}{3}\right)$ ， $\left(\dfrac{1}{12}，\dfrac{1}{17}\right)$ となる．

結局はペル方程式 $c^2-2k^2=-1$ の自然数解に帰着される．

なお，正しいペル方程式の定義は $x^2-Dy^2=1$ （ $D$ は平方数でない自然数）であるから，右辺が $-1$ となるのは厳密にはペル方程式ではないが，これもペル方程式と呼ぶことがある．ペル方程式の解の生成規則を行列を用いて表現する入試問題が
1988年(昭和63年)京都大学-数学(理系)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
など，1980年代には良く見られた（という記憶がある）．

ペル方程式については次を参照．
ペル方程式 - 球面倶楽部零八式 mark II

実際， $x^2-2y^2=1$ の場合，最小の自然数解は $(x_1，y_1)=(3，2)$ だから， $x_n+y_n\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2})^n$ によって $(x_2，y_2)=(17，12)$ ， $(x_3，y_3)=(99，10)$ ， $(x_4，y_4)=(577，408)$ ，…と生成される．また， $x^2-2y^2=1$ の場合，最小の自然数解は $(x_1，y_1)=(1，1)$ だから， $x_n+y_n\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^{2n-1}=(1+\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})^{n-1}$ によって $(x_2，y_2)=(7，5)$ ， $(x_3，y_3)=(41，29)$ ， $(x_4，y_4)=(239，169)$ ，…と生成される．

2025.04.04記
本来は，ペル方程式 $x^2-2y^2=1$ の自然数解 $x，y$ に対して
$y$ ， $x$ ， $\dfrac{1}{\tan\left(\mbox{Arctan}\,\dfrac{1}{x}+\mbox{Arctan}\,\dfrac{1}{y}\right)}$ がこの順に等差数列をなすという問題なので，[解答] で $b^2-2a^2=1$ を導くのが王道ではあるのだが， $c$ を消去すると $c\leqq 10$ という条件が使いにくくなって面倒になってしまう．一応参考まで．

[大人の解答]（どちらかというと下手）
$a=\dfrac{1}{\tan\alpha}$ ， $b=\dfrac{1}{\tan\beta}$ ， $c=\dfrac{1}{\tan(\alpha+\beta)}$
とおくと $\tan\alpha\lt\tan(\alpha+\beta)$ であるから $c\lt a$ であり，条件(イ)，(ロ)から
$c\leqq 10$ …①， $c\lt a\lt b$ …②， $\dfrac{b+c}{2}=a$ …③
が成立する．ここで $\dfrac{1}{\tan(\alpha+\beta)}$ $=\dfrac{1-\tan\alpha\tan\beta}{\tan\alpha+\tan\beta}$
により $c=\dfrac{ab-1}{a+b}$ が成立する．③より $c=2a-b$ であるから $2a^2-b^2=-1$ ，つまり
$b^2-2a^2=1$ ， $2a\leqq b+10$
が成立する． $2a\leqq b+10$ の両辺が正であるから
$2b^2+2=4a^2\leqq (b+10)^2$
となり， $(b-10)^2\leqq 198$ から $b\leqq 10+\sqrt{198}\lt 10+10\sqrt{2}=24.14\cdots$

となる．ここで $(b，a)$ は $(3+2\sqrt{2})^{n}$ で生成され， $b$ は $n$ について単調増加であり， $b=3，17，99，…$ と生成されるので $b=3，17$ となり，よって
$(a，b)=(2，3)，(12，17)$ が得られ， $(\tan\alpha，\tan\beta)$ $=\left(\dfrac{1}{2}，\dfrac{1}{3}\right)$ ， $\left(\dfrac{1}{12}，\dfrac{1}{17}\right)$ となる．