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2025.03.01記

[4] 関数 $f(x)$ は $2$ 回微分可能で，その $2$ 次までの導関数 $f'(x)$ ， $f''(x)$ はいずれも連続とし，すべての実数 $x$ に対して $f''(x)\geqq 0$ を満たすとする． $xy$ 平面上の曲線 $C:y = f(x)$ 上の点 $\mbox{P}(t，f(t))$ における法線上に点 $\mbox{Q}(a，b)$ を $\mbox{PQ} = 1，b\lt f(t)$ を満たすようにとるとき，以下の各問いに答えよ．

問1 $\overrightarrow{\rm PQ}$ を求めよ．答えのみでよい．

問2 $a，b$ を $t$ の式で表せ．答えのみでよい．

問3　問2の $a，b$ をそれぞれ $a(t)，b(t)$ と表すとき， $b'(t) = f'(t)a'(t)$ が成り立つことを示せ．

問4　 $T_1，T_2$ は $T_1\lt T_2$ を満たす実数とする． $t$ が $T_1$ から $T_2$ まで変化するとき，2 点 $\rm P，Q$ が描く曲線の長さをそれぞれ $L_{\rm P}(T_1，T_2)$ ， $L_{\rm Q}(T_1，T_2)$ で表す． $L_{\rm Q}(T_1，T_2)$ と $L_{\rm P}(T_1，T_2)$ の差を
$\Delta L(T_1，T_2) = L_{\rm Q}(T_1，T_2) - L_{\rm P}(T_1，T_2)$
とするとき，次が成り立つことを示せ．

$\Delta L(T_1，T_2) = \displaystyle\int_{T_1}^{T_2} \frac{f''(t)}{1 + \{ f'(t) \}^2}\, dt$

問5 問4までの結果を踏まえて，関数 $f(x) = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$ に対して， $\Delta L(T_1，T_2)$ において同時に $T_1 \to -\infty$ ， $T_2 \to +\infty$ としたときの極限値
$\displaystyle\lim_{T_1 \to -\infty，T_2 \to +\infty} \Delta L(T_1，T_2)$
を求めよ．

本問のテーマ

（弧長の）センターラインの公式

2025.03.01記
センターラインの公式は一般に面積の文脈で語られるが長さの場合のセンターラインの公式もある．これはパップスギュルダンの定理が面積の第二定理を指すことが多いが表面積に関する第一定理もあることと似ている．

最後に $\dfrac{1}{\cosh x}$ の原始関数 $\mbox{Arctan}\, \sinh x +(積分定数)$ または $2\mbox{Arctan}\, e^x+(積分定数)$ が登場するが，高校生的には $e^x=\tan u$ と置換すれば $2u+(積分定数)$ となる．

[大人の解答]
問5 $T_1\to -\infty$ で $\overrightarrow{\rm PQ}\to (1，0)$ ， $T_2\to +\infty$ で $\overrightarrow{\rm PQ}\to (-1，0)$ となり，この間で $\overrightarrow{\rm PQ}$ は単調に反時計回りに $\pi$ だけ回転する．

よって求める値（外側の曲線と内側の曲線の長さの差）は $\pi\cdot |\overrightarrow{\rm PQ}|=\pi$ となる．

2025.03.01記

[解答]
問1 $\dfrac{1}{\sqrt{\{f'(t)\}^2+1}}(f'(t)，-1)$ である．

問2 $(a，b)=\left(t+\dfrac{f'(t)}{\sqrt{1+\{f'(t)\}^2}}，f(t)-\dfrac{1}{\sqrt{1+\{f'(t)\}^2}}\right)$ である．

問3 $g(t)=\sqrt{1+\{f'(t)\}^2}$ とおくと $g(t)g'(t)=f'(t)f''(t)$ が成立する．
$a'(t)=1+\dfrac{f''(t)g(t)-f'(t)g'(t)}{\{g(t)\}^2}$ ， $b'(t)=f'(t)+\dfrac{g'(t)}{\{g(t)\}^2}$
により
$f'(t)a'(t)=f'(t)\left(1+\dfrac{f''(t)g(t)-f'(t)g'(t)}{\{g(t)\}^2}\right)$ $=f'(t)+\dfrac{f'(t)f''(t)g(t)-\{f'(t)\}^2g'(t)}{\{g(t)\}^2}$ $=f'(t)+\dfrac{g'(t)\{g(t)\}^2-\{f'(t)\}^2g'(t)}{\{g(t)\}^2}$ $=b'(t)$
（∵ $\{g(t)\}^2-\{f'(t)\}^2=1$ ）
が成立する．

問4 $L_{\rm P}(T_1，T_2)$ $= \displaystyle\int_{T_1}^{T_2} g(t)\, dt$ であり，問3より $a'(t)=1+\dfrac{g'(t)}{f'(t)\{g(t)\}^2}$ $=1+\dfrac{f''(t)}{\{g(t)\}^3}\gt 0$ であるから
$L_{\rm Q}(T_1，T_2)$ $= \displaystyle\int_{T_1}^{T_2} \sqrt{\{a'(t)\}^2+\{b'(t)\}^2}\, dt$ $= \displaystyle\int_{T_1}^{T_2} a'(t)g(t)\, dt$
となるので
$\Delta L(T_1，T_2) = \displaystyle\int_{T_1}^{T_2} \{a'(t)-1\}g(t)\, dt$ $= \displaystyle\int_{T_1}^{T_2} \dfrac{f''(t)}{\{g(t)\}^3}\cdot g(t)\, dt$ $= \displaystyle\int_{T_1}^{T_2} \dfrac{f''(t)}{\{g(t)\}^2}\, dt$ $= \displaystyle\int_{T_1}^{T_2} \dfrac{f''(t)}{1+\{f'(t)\}^2}\, dt$
が成立する．

問5 $f(x) = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$ のとき， $f''(t)=g(t)=f(t)$ が成立するので
$\Delta L(T_1，T_2) = \displaystyle\int_{T_1}^{T_2} \dfrac{1}{f(t)}\, dt$ $= \displaystyle\int_{T_1}^{T_2} \dfrac{2e^t}{1+(e^t)^2}\, dt$
となる．ここで $e^t=\tan u$ （ $e^t\, dt=\dfrac{du}{\cos^2 u}$ ）と置換し， $e^{T_1}=\tan \alpha_1$ ， $e^{T_2}=\tan \alpha_2$ なる鋭角 $\alpha_1，\alpha_2$ を考えると，

$\Delta L(T_1，T_2) = \displaystyle\int_{\alpha_1}^{\alpha_2} \dfrac{2}{1+\tan^2 u}\cdot \dfrac{du}{\cos^2 u}$ $= \displaystyle\int_{\alpha_1}^{\alpha_2} 2\, du$ $=2(\alpha_2-\alpha_1)$

が成立する． $T_1 \to -\infty，T_2 \to +\infty$ で $\alpha_1\to 0$ ， $\alpha_2\to\dfrac{\pi}{2}$ であるから，求める極限は $\pi$ である．