https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/2025/02/19/234247

本問のテーマ

瞬間部分積分法

山本矩一郎氏によれば，
「‘瞬間部分積分法’というのは，自動給湯器が『瞬間湯わかし器』と呼ばれた（怒りやすい人の意味もあった）ころの命名ですが，…」
とある．

2025.02.19記

[解答]
(1) 微分可能な関数 $A(t)$ に対して $\dfrac{d}{dt}\{A(t)e^{-t}\}=\{A'(t)-A(t)\}e^{-t}$ が成立する．

$A(t)=1+\displaystyle\sum_{k=1}^m\dfrac{t^k}{k!}$ のとき $A'(t)=0+\displaystyle\sum_{k=1}^m\dfrac{t^{k-1}}{(k-1)!}$ $=1+\displaystyle\sum_{k=1}^{m-1}\dfrac{t^{k}}{k!}$ であるから， $A(t)=A'(t)+\dfrac{t^m}{m!}e^{-t}$ となり， $\dfrac{d}{dt}h(t)=-\dfrac{t^m}{m!}e^{-t}$ となる．

(2) $t\gt 0$ で $\dfrac{d}{dt}h(t)=-\dfrac{t^m}{m!}e^{-t}\lt 0$ だから $h(t)$ は $t\geqq 0$ で減少関数．よって $t^2\gt 0$ により $h(t^2)\lt h(0)=1$ となり， $\dfrac{(t^2)^m}{m!}\lt e^{t^2}$ が言えた．

これから，任意の自然数 $p$ に対して適当な $p\lt 2m$ なる $m$ を選び $q=2m-p$ (自然数)とすると，正の数 $B$ に対して
$0\leqq \dfrac{B^p}{e^{B^2}}\lt \dfrac{B^{2m}}{B^q e^{B^2}}\lt \dfrac{m!}{B^q}\to 0$ （ $B\to+\infty$ ）となる，つまり

「任意の $B$ の多項式について， $\dfrac{(Bの多項式)}{e^{B^2}}\to 0$ （ $B\to+\infty$ ）となる」…(★)

(3) $\ell_n(u)=f_n(e^u)\cdot (e^u)^u$ $=f_n(e^u)\cdot e^{u^2}$
であるから
$f_n(e^u)=e^{-u^2}\ell_n(u)$
となるので，
$e^{-u^2}\ell_n(u)=e^u\dfrac{d}{du}\{e^{-u^2}\ell_{n-1}(u)\}\cdot \dfrac{du}{dx}$ $=\dfrac{d}{du}\{e^{-u^2}\ell_{n-1}(u)\}$ …(♪)
$=e^{-u^2} \left\{ -2u\ell_{n-1}(u)+\dfrac{d}{du}\ell_{n-1}(u)\right\}$
が成立し，
$\ell_n(u)=-2u\ell_{n-1}(u)+\dfrac{d}{du}\ell_{n-1}(u)$ …(♯)
が成立する．

$\ell_0(u)=1$ は0次式であり， $\ell_{n-1}(u)$ が $n-1$ 次式のときに $-2u\ell_{n-1}(u)$ は $n$ 次式で $\dfrac{d}{du}\ell_{n-1}(u)$ は $n-2$ 次式だから(♯)により $\ell_n(u)$ は最高次の係数が $\ell_{n-1}(u)$ の $-2$ 倍となる $n$ 次式となる．よって帰納的に $\ell_n(u)$ は最高次の係数が $(-2)^n$ である $n$ 次式となる．

(4) $\log b=B$ とおき， $J_n(B)=\displaystyle\int_{\frac{1}{b}}^b \{f_n(u)\}^2 x^{\log x-1} \, dx$ $=\displaystyle\int_{-B}^B \{\ell_n(u)\}^2 e^{-u^2} \, du$ とおくと， $I_n=\displaystyle\lim_{B\to+\infty} J_n(B)$ となる．

$J_0(B)=\displaystyle\int_{-B}^B e^{-u^2} \, du$ $=2\displaystyle\int_{0}^B e^{-u^2} \, du$ により $I_0=\sqrt{\pi}$ である．

$\ell_1(u)=-2u\cdot 1+0=-2u$ であるから
$J_1(B)=\displaystyle \int_{-B}^B 4u^2 e^{-u^2} \, du$ $=-4\displaystyle \int_{0}^B u\cdot (-2u) e^{-u^2} \, du$ $=-4B e^{-B^2}+4\displaystyle \int_{0}^B e^{-u^2} \, du$
となり，(★)から $I_1=2\sqrt{\pi}$ である．

(5) (♪)により
$J_n(B)$ $=\displaystyle\int_{-B}^B \ell_n(u) \{e^{-u^2}\ell_n(u)\} \, du$
$=\Bigl[ \ell_n(u) \{e^{-u^2}\ell_{n-1}(u)\}\Bigr]_{-B}^B$
$-\displaystyle\int_{-B}^B \dfrac{d}{du}\ell_n(u) \cdot \{e^{-u^2}\ell_{n-1}(u)\} \, du$
$=\Bigl[ \ell_n(u) \{e^{-u^2}\ell_{n-1}(u)\}\Bigr]_{-B}^B$
$-\Bigl[ \dfrac{d}{du}\ell_n(u) \{e^{-u^2}\ell_{n-2}(u)\}\Bigr]_{-B}^B$
$+\displaystyle\int_{-B}^B \dfrac{d^2}{du^2}\ell_n(u) \cdot \{e^{-u^2}\ell_{n-2}(u)\} \, du$
$=\Bigl[ \ell_n(u) \{e^{-u^2}\ell_{n-1}(u)\}\Bigr]_{-B}^B$
$-\Bigl[ \dfrac{d}{du}\ell_n(u) \{e^{-u^2}\ell_{n-2}(u)\}\Bigr]_{-B}^B$
$+\cdots$
$+(-1)^{n-1}\Bigl[ \dfrac{d^{n-1}}{du^{n-1}}\ell_n(u) \{e^{-u^2}\ell_{0}(u)\}\Bigr]_{-B}^B$
$+(-1)^{n}\displaystyle\int_{-B}^B \dfrac{d^n}{du^n}\ell_n(u) \cdot \{e^{-u^2}\ell_{0}(u)\} \, du$
となり，(★)から $B\to\infty$ の極限で生き残るのは
$(-1)^{n}\displaystyle\int_{-B}^B \dfrac{d^n}{du^n}\ell_n(u) \cdot \{e^{-u^2}\ell_{0}(u)\} \, du$
$=(-1)^{n}(-2)^n n! I_0$
$=2^n n! \sqrt{\pi}$
だけであるから， $I_n=2^n n! \sqrt{\pi}$ となる．

$\ell_n(u)$ は $n$ が偶数のとき偶関数で，奇数のとき奇関数である． $n=0$ ， $1$ のとき $\ell_0(u)=1$ ， $\ell_1(u)=-2u$ より正しい．

$\ell_{n-1}(u)$ が偶関数のとき，
$-2u\ell_{n-1}(u)$ ， $\dfrac{d}{du}\ell_{n-1}(u)$
は奇関数であるから $\ell_{n}(u)$ は奇関数，

$\ell_{n-1}(u)$ が奇関数のとき，
$-2u\ell_{n-1}(u)$ ， $\dfrac{d}{du}\ell_{n-1}(u)$
は偶関数であるから $\ell_{n}(u)$ は偶関数，

よって帰納的に $\ell_n(u)$ は $n$ が偶数のとき偶関数で，奇数のとき奇関数である．

最初，これを使って奇関数の積分を消すのかと思ったが，その方針は今のところうまくいってない．

2025.02.21記
$\ell_n(u)$ は $n$ が偶数のとき偶関数で，奇数のとき奇関数であるから，
$\{\ell_n(u)\}^2$ は0以上の整数に対して偶関数となるので，
$J_n(B)$ $=\displaystyle\int_{-B}^B \{\ell_n(u)\}^2e^{-u^2} \, du$
は $u^2$ の関数となる． $u^2=v$ と置換すると
$J_n(B)$ $=2\displaystyle\int_{0}^{B^2} \{(vの多項式)\}^2 e^{-v} \, \dfrac{dv}{2v}$
となるので， $(多項式)×e^{-x}$ の積分には帰着できない．

（帰着できたら，そもそも $\int_0^{\infty} e^{-x^2}\, dx$ が求まるのから値を問題文に載せない）