https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/2024/09/24/112924

2024.09.24記

[5] 自然数 $n$ に対して
$\displaystyle\sum_{r=0}^n {}_n\mbox{C}_r$ $=\fbox{(101)}^n$

$\displaystyle\sum_{r=0}^n r {}_n\mbox{C}_r$ $=\fbox{(102)}^{n-\fbox{(103)}}$

$\displaystyle\sum_{r=0}^n r(r+1){}_n\mbox{C}_r$ $=n(n+\fbox{(104)})\fbox{(105)}^{n-\fbox{(106)}}$

となる． $\displaystyle\sum_{r=0}^n r(r+1){}_n\mbox{C}_r$ $\geqq 10000$ となる最小の $n$ は $\fbox{(107)|(108)}$ である．

本問のテーマ

二項分布の期待値

2024.09.24記

$X\sim B(n,p)$ のとき， $E[f(X)]$ $=\displaystyle\sum_{r=0}^n　f(r) {}_n\mbox{C}_r p^r (1-p)^{n-r}$ となる．

[解答]
$X\sim B\left(n,\dfrac{1}{2}\right)$ のとき， $E[f(X)]$ $=\displaystyle\sum_{r=0}^n　f(r) {}_n\mbox{C}_r \left(\dfrac{1}{2}\right)^r \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-r}$ となるので，
$\displaystyle\sum_{r=0}^n f(r) {}_n\mbox{C}_r$ $=2^n\cdot E[f(X)]$
となる．

$E[X]=\dfrac{n}{2}$ ， $V[X]=\dfrac{n}{4}$ であるから，

$\displaystyle\sum_{r=0}^n {}_n\mbox{C}_r$ $=2^n\cdot E[1]=2^n$ ，

$\displaystyle\sum_{r=0}^n r {}_n\mbox{C}_r$ $=2^n\cdot E[X]=2^n\cdot n\cdot\dfrac{1}{2}=n2^{n-1}$ ，

$\displaystyle\sum_{r=0}^n r(r+1) {}_n\mbox{C}_r$ $=2^n\cdot E[X(X+1)]$ $=2^n\{V[X]+E[X]^2+E[X]\}$ $=2^n\left\{\dfrac{n}{4}+\dfrac{n^2}{4}+\dfrac{n}{2}\right\}$ $=n(n+3)2^{n-2}$
となる．

また， $f(n)=n(n+3)2^{n-2}$ とおくと
$f(8)=88\cdot 64<10000$
$f(9)=108\cdot 128\geqq 10000$
であるから，
$\displaystyle\sum_{r=0}^n r(r+1) {}_n\mbox{C}_r$ $\geqq 10000$
をみたす最小の $n$ は $n=9$ である．

10000 は 100 × 100 なので、
2ケタ×2ケタは 10000 未満，
3ケタ×3ケタは 10000 以上となることを利用して解けるところが良い