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2023.02.01記

[5] 図の曲線 $C$ は $0\lt x\leqq a$ における関数 $y=f(x)$ のグラフである．ただし， $a$ は定数とし， $f(x)\geqq 0$ ， $f(a)=0$ とする．さらに， $C$ 上の各点 ${\rm P}=(x,y)$ における接線と $y$ 軸の交点を $Q$ とするとき， $\overline{\rm PQ}=a$ であるとする．

図はそのうち

(1) $\dfrac{dy}{dx}$ を $x$ と $a$ を用いて表せ．

$C$ 上を動く点 $\vec{p}(t)=(x(t),y(t))$ が， $|\vec{p}'(t)|=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}=1$ および $x'(t)<0$ をみたすとする． $x\lt a$ のとき次の問に答えよ．

(2) $\vec{p}(t)=(x,y)$ のとき，加速度の大きさ $|\vec{p}''(t)|$ が $\dfrac{x}{a\sqrt{a^2-x^2}}$ に等しいことを示せ．

(3) $C$ の $\rm P$ における法線と $y$ 軸の交点を $\rm R$ とするとき， $\overline{\rm PR}$ と $|\vec{p}''(t)|$ の比が一定であることを示せ．

2023.02.01記
追跡線（tractrix，牽引線，犬曲線）

[解答]
(1) $\rm P$ から $y$ 軸に下した垂線の足を $\rm H$ とすると，接線の傾きは
$\dfrac{dy}{dx}$ $=-\dfrac{\overline{\rm QH}}{\overline{\rm PH}}$ $=-\dfrac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}$

(2) (1)より
$1=x'^2+y'^2$ $=\left(1+\dfrac{a^2-x^2}{x^2}\right)x'^2$ $=\dfrac{a^2}{x^2}\cdot x'^2$
であり， $a\gt 0，x'\lt 0，x\gt 0$ であるから $x'=-\dfrac{x}{a}$ となり，
$x''=-\dfrac{x'}{a}=\dfrac{x}{a^2}$
となる．ここで $x'^2+y'^2=1$ から
$x'x''+y'y''=0$
となるので
$x''^2+y''^2$ $=\left(1+\dfrac{x^2}{a^2-x^2}\right)x''^2$ $=\dfrac{a^2}{a^2-x^2}\cdot \dfrac{x^2}{a^4}$ $=\dfrac{x^2}{a^2(a^2-x^2)}$
となり， $a\gt 0$ から
$|\vec{p}''(t)|=\dfrac{x}{a\sqrt{a^2-x^2}}$
となる．

(3) $\overline{\rm PR}=\dfrac{\overline{\rm PH}\cdot\overline{\rm PQ}}{\overline{\rm QH}}$ であるから，
$\dfrac{\overline{\rm PR}}{|\vec{p}''(t)|}$
$=\dfrac{ax}{\sqrt{a^2-x^2}}\cdot\dfrac{a\sqrt{a^2-x^2}}{x}=a^2$
は一定である．

本問では登場していないが， $f'(x)=-\dfrac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}$ と $f(a)=0$ から
$f(x)=-a\log\dfrac{a-\sqrt{a^2-x^2}}{x}-\sqrt{a^2-x^2}$
となる．なお，追跡線の縮閉線は懸垂線である．