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2016年(平成28年)お茶の水女子大学前期理学部-数学[1]

2023.02.01記

[1] $a$ を正の実数とする．

(1) 平面上の点 $(x,y)$ は $x+y=a$ ， $x\gt 0，y\gt 0$ の範囲を動くものとする．このとき，
$x\log x+y\log y$
の最小値を求めよ．

(2) 空間上の点 $(x,y,z)$ は $x+y+z=a$ ， $x\gt 0，y\gt 0，z\gt 0$ の範囲を動くものとする．このとき
$x\log x+y\log y+z\log z$
の最小値を求めよ．

本問のテーマ

シャノンエントロピー

2023.02.01記
$H(\textbf{x})=-\sum x_i\log x_i$ とおき，
$x_1=\dfrac{x}{a}$ ， $x_2=\dfrac{y}{a}$ ， $x_3=\dfrac{z}{a}$
とおくと，

(1)(2) は
$-a H(\textbf{x}) -a\log a$
と変形できるので，その最小値は $H(\textbf{x})$ が最大となるときだから， $x_i$ が一様分布のとき，つまり全ての $x_i$ が等しいとき．よって (1)は $x=y=\dfrac{a}{2}$ で最小値 $a\log\dfrac{a}{2}$ をとり，(2)は $x=y=z=\dfrac{a}{3}$ で最小値 $a\log\dfrac{a}{3}$ をとる．

シャノンエントロピーが一様分布で最大となることは，例えば
1990年(平成2年)東京工業大学前期数学[2]
のように Jensen の不等式を使って解くので，実際の答案は Jensen の不等式または接線による評価
Jensen の不等式 - 球面倶楽部零八式 mark II
で求めることになる．

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