https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/2000/03/01/000000

2020.08.20記

[2] (1) $0$ でない平面ベクトル $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ が
$\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\dfrac{\vec{b}}{|\vec{b}|}+\dfrac{\vec{c}}{|\vec{c}|}=\vec{0}$
を満たすとき，3つのベクトルの互いになす角を求めよ．

(2) $\vec{a}\neq\vec{0}$ ， $\vec{x}$ を任意の平面ベクトルとするとき，
$|\vec{a}-\vec{x}|\geqq|\vec{a}|-\vec{x}\cdot\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$
であることを示せ．ここで $\vec{x}\cdot\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ は　 $\vec{x}$ と $\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ の内積を表す．

(3) すべての内角が $120^{\circ}$ 未満の三角形 $\rm ABC$ の内部の点 $\rm X$ から各頂点までの距離の和 $|\vec{\rm XA}|+|\vec{\rm XB}|+|\vec{\rm XC}|$ が最小になるような $\rm X$ を求めよ．

2020.08.20記
フェルマー点

(1) は3つの単位ベクトルの和が零ベクトルなので、正三角形を作るはずと考えれば $120^{\circ}$ となる．

(2) $\vec{\rm OA}=\vec{a}$ ， $\vec{\rm OX}=\vec{x}$ となるように $\rm O，A，X$ をとり， $\rm X$ から直線 $\rm OA$ に下した垂線の足を $\rm H$ とすると，示すべきことは
$|\vec{a}|-\vec{x}\cdot\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ $=\vec{a}\cdot\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}-\vec{x}\cdot\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ $=\vec{\rm XA}\cdot\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ $=\vec{\rm HA}\cdot\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ $=\pm {\rm HA}$
に注意すると， ${\rm AX}\geqq \pm {\rm AH}$ となるが， $\rm H$ は $\rm A$ から直線 $\rm XH$ への垂線の足だから ${\rm AX}\geqq {\rm AH}$ となるので成り立つ．

この問題では等号成立条件を答える必要はないが，等号成立は $\rm X$ が直線 $\rm OA$ 上にあり，かつ $\rm O，Ｘ$ が $\rm A$ に対して同じ側にあることである．

(3) $\rm X$ を1つ見つけるのは簡単だが，見つけた1つ以外にないことを示さなければならない．(2) より任意の $\rm X，O$ （ $\rm O \neq A,，B，C$ ）に対して
$|\vec{\rm XA}|\geqq |\vec{\rm OA}|-\vec{\rm OX}\cdot\dfrac{\vec{\rm OA}}{|\vec{\rm OA}|}$ ， $|\vec{\rm XB}|\geqq |\vec{\rm OA}|-\vec{\rm OX}\cdot\dfrac{\vec{\rm OB}}{|\vec{\rm OB}|}$ ， $|\vec{\rm XC}|\geqq |\vec{\rm OA}|-\vec{\rm OX}\cdot\dfrac{\vec{\rm OC}}{|\vec{\rm OC}|}$
が成立するので，これらを足して任意の $\rm X，O$ （ $\rm O \neq A,，B，C$ ）に対して
$|\vec{\rm XA}|+|\vec{\rm XB}|+|\vec{\rm XC}|$ $\geqq |\vec{\rm OA}|+|\vec{\rm OB}|+|\vec{\rm OC}|$ $-\vec{\rm OX}\cdot \Bigl(\dfrac{\vec{\rm OA}}{|\vec{\rm OA}|}+\dfrac{\vec{\rm OB}}{|\vec{\rm OB}|}+\dfrac{\vec{\rm OC}}{|\vec{\rm OC}|}\Bigr)$
が成立する．この不等式は両辺に $\rm X$ が含まれるため，最小値をとることと等号が成立することは一般に異なる．そこで， $\rm X，O$ の関数である右辺が定数関数となるような $\rm O$ をみつけることにより，左辺の関数値を定数で評価する．

$\rm P（P\neq A,，B，C）$ を $\angle \rm APB=\angle BPC=\angle CPA=120^{\circ}$ をみたす三角形の内部の唯一の点とすると(1)により右辺は定数関数となり，任意の $\rm X$ に対して
$|\vec{\rm XA}|+|\vec{\rm XB}|+|\vec{\rm XC}|$ $\geqq |\vec{\rm PA}|+|\vec{\rm PB}|+|\vec{\rm PC}|$
が成立する．右辺は定数であり，等号は少なくとも $\rm X=P$ で成立するので，左辺の最小値は右辺となる．

等号成立は，足される前の3つの条件が $\rm O=P$ のときに等号となることであり，それは
$\rm X$ が直線 $\rm PA$ 上にあり，かつ $\rm P，X$ が $\rm A$ に対して同じ側，
$\rm X$ が直線 $\rm PB$ 上にあり，かつ $\rm P，X$ が $\rm B$ に対して同じ側，
$\rm X$ が直線 $\rm PC$ 上にあり，かつ $\rm P，X$ が $\rm C$ に対して同じ側
にあることである．

$\rm X$ が直線 $\rm PA$ ，直線 $\rm PB$ 上にあることから $\rm X=P$ であることが必要であり，このとき確かに等号が成立するので，等号成立のための必要十分条件は $\rm X=P$ である．

よって $\rm X$ は $\angle \rm APB=\angle BPC=\angle CPA=120^{\circ}$ をみたす三角形の内部の唯一の点 $\rm P$ である．