https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/1914/03/01/000000

[1] Draw the curve $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1$ and its normal at $x=2$ (rectangular co-ordinates).

[2] Evaluate $\displaystyle\int_0^{2a} x^2\sqrt{2ax-x^2} dx$ .

解説:2019.03.05記

手持ちの京大入試数学の最古の問題。

[1] $(x-1)(y-1)=1$ なので、漸近線が $x=1,y=1$ の直角双曲線を描いて、 $(2,2)$ における法線を求めれば良いが、これは対称性から $y=x$

参考書の解答

與方程式ヲ變形スレバ $xy=x+y,$ (但 $x\neq0,y\neq0$ トス)或ハ $(x-1)(y-1)=1\cdots$ (1)
ナル故直線 $x=1$ 及ビ $y=1$ ヲ漸近線トスル直角双曲線(但シ原點ヲ除ク)ニシテ其主軸 $y=x$ トノ交點ハ(1)式ヨリ容易ニ求メ得ベク $(2,2)$ ナリ。

又點 $x=2$ ニ於テハ(1)式ヨリ $y=2,\dfrac{dy}{dx}=-1$ ナル故同點ニ於ケル法線ノ方程式ハ $y-2=x-2$ 即チ $y=x$ ナリ。

以上ニヨリ與曲線及ビ點 $(2,2)$ ニ於ケル法線ヲ畫クコト圖ノ如シ。(圖省略)

何故、 $y=x$ との交点を求めたのかよくわからないが、直角双曲線のグラフを描くときに通る点として、対称軸との交点を求めるのが一般的だったのだろうか？気持ちはわかる。

[2]求める積分の値を $I$ とおく。
$\displaystyle I=\int_0^{2a} x^2\sqrt{2ax-x^2} dx=\int_0^{2a} x^2\sqrt{a^2-(x-a)^2} dx$
$x=a+a\cos\theta$ とおくと、 $dx=-a\sin\theta d\theta$ であり、
$\displaystyle I=a^3|a|\int_{0}^{\pi}(1+\cos\theta)^2 \sin^2\theta d\theta$
$\displaystyle =a^3|a|\int_{0}^{\pi}(\sin^2\theta+2\sin^2\theta\cos\theta+\sin^2\theta\cos\theta)^2 d\theta$
となる。

ここで
$\displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin^2\theta d\theta=\dfrac{\pi}{2}$ ( $\displaystyle =\int_{0}^{\pi}\sin^2\theta d\theta=\int_{0}^{\pi}\cos^2\theta d\theta$ だから足して半分)、

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin^2\theta \cos\theta d\theta=0$ ( $\left(\dfrac{\pi}{2},0\right)$ に関して点対称)、

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin^2\theta \cos^2\theta d\theta=\dfrac{1}{4}\int_{0}^{\pi}\sin^2 2\theta d\theta=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{8}$

であるから、 $I=\dfrac{5\pi a^3|a|}{8}$

注:
$\displaystyle \int_{0}^{\pi}(1+\cos\theta)^2 \sin^2\theta d\theta=16\int_{0}^{\pi}\cos^6\dfrac{\theta}{2}\sin^2\dfrac{\theta}{2}d\theta=8\int_{0}^{2\pi}\cos^6\phi\sin^2\phi d\phi$
( $\theta=2\phi$ と置換)
$\displaystyle =32\int_{0}^{\pi/2}(\cos^6\phi-\cos^8\phi) d\phi=32\left(\dfrac{7\cdot5\cdot 3\cdot 1}{8\cdot 6\cdot 4\cdot 2}\cdot\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{5\cdot 3\cdot 1}{6\cdot 4\cdot 2}\cdot\dfrac{\pi}{2}\right)$
$\displaystyle =32\cdot\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{5\cdot 3\cdot 1}{6\cdot 4\cdot 2}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{5\pi}{8}$
のように Wallis の公式を用いても良い。