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2026.03.25.記

[1] $m$ ， $n$ を $0\lt m\lt n$ をみたす整数とする． $\alpha$ ， $\beta$ を $0\lt\alpha\lt\dfrac{\pi}{2}$ ， $0\lt\beta\lt\dfrac{\pi}{2}$ ， $m=\tan\alpha$ ， $n=\tan\beta$ をみたす実数とする．以下の問に答えよ．

(1) $\tan\dfrac{7\pi}{12}$ の値を求めよ．

(2) $\alpha+\beta\gt\dfrac{7\pi}{12}$ であることを示せ．

(3) $\tan(\alpha+\beta)$ が整数となるような組 $(m，n)$ をすべて求めよ．

2026.03.25.記
三角形の内角の $\tan$ が全て整数となるのは $1，2，3$ の場合しかないので， $(m，n)=(1，2)$ ， $(1，3)$ ， $(2，3)$ が答となります．本問はその証明です．

[解答]
(1) $\tan\dfrac{7\pi}{12}$ $=\dfrac{\tan\dfrac{\pi}{3}+\tan\dfrac{\pi}{4}}{1-\tan\dfrac{\pi}{3}\tan\dfrac{\pi}{4}}$ $=\dfrac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}$ $=-2-\sqrt{3}$ である．

(2) $0\lt m\lt n$ から $m\geqq 1$ ， $n\geqq 2$ となるので， $\tan\alpha\geqq 1$ ， $\tan\beta\geqq 2\geqq \tan\dfrac{\pi}{3}$ となり， $\dfrac{\pi}{4}\lt\alpha\lt\dfrac{\pi}{2}$ ， $\dfrac{\pi}{3}\lt\beta\lt\dfrac{\pi}{2}$ となるので $\dfrac{7\pi}{12}\lt\alpha+\beta(\lt \pi)$ となる．

(3) (1)(2)により $-2-\sqrt{3}\lt\tan(\alpha+\beta)\lt 0$ であるから， $\tan(\alpha+\beta)=-1，-2，-3$ のいずれかである．

(i) $\tan(\alpha+\beta)=-1$ のとき：
$\dfrac{m+n}{1-mn}=-1$ から $(m-1)(n-1)=2$ となり， $m\geqq 1$ ， $n\geqq 2$ から $(m，n)=(2，3)$ となる．

(ii) $\tan(\alpha+\beta)=-2$ のとき：
$\dfrac{m+n}{1-mn}=-2$ から $(2m-1)(2n-1)=5$ となり， $m\geqq 1$ ， $n\geqq 2$ から $(m，n)=(1，3)$ となる．

(iii) $\tan(\alpha+\beta)=-3$ のとき：
$\dfrac{m+n}{1-mn}=-2$ から $(3m-1)(3n-1)=10$ となり， $m\geqq 1$ ， $n\geqq 2$ から $(m，n)=(1，2)$ となる．

以上から $(m，n)=(1，2)$ ， $(1，3)$ ， $(2，3)$ となる．

$\alpha，\beta，\gamma$ が三角形の内角のとき，
$\tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma=\tan\alpha\tan\beta\tan\gamma$
が成立します．

[うまい解答]
(3) $\gamma=\pi-(\alpha+\beta)$ とおくと， $\tan\gamma=1，2，3$ であり， $\alpha，\beta，\gamma$ を内角とする三角形が存在することから，
$\tan\gamma=l$ とおくと， $l+m+n=lmn$ が成立する．ここで $l，m，n$ は自然数である．

一般に $l，m，n$ は整数であり， $l+m+n=lmn$ ， $0\lt ml\leqq m\leqq n$ を満たす自然数の組は $lmn=l+m+n\lt 3n$ から $lm\lt 3$ となるので $(l，m)=(1，1)，(1，2)$ であり， $(l，m)=(1，1)$ のときは $n+2=n$ となり不適で $(l，m)=(1，2)$ のときは $n+3=2n$ となり $n=3$ となるので適し， $(l，m，n)=(1，2，3)$ となる．よって $l+m+n=lmn$ を満たす自然数は $\{l，m，n\}=\{1，2，3\}$ となる．よって $l=1，2，3$ に対する解として $(m，n)=(2，3)$ ， $(1，3)$ ， $(1，2)$ となる．

2026.03.25.記

[5] $2$ つの科目 $X$ と $Y$ の試験を受けた $3$ 人の生徒の得点と，それぞれの科目の得点の平均値と標準偏差を以下のとおりとする．

	生徒１	生徒２	生徒３	平均値	標準偏差
科目 $X$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$\overline{x}$	$s_x$
科目 $Y$	$y_1$	$y_2$	$y_3$	$\overline{y}$	$s_y$

ただし， $s_x\neq0$ かつ $s_y\neq0$ とする．科目 $X$ と科目 $Y$ の得点の相関係数 $r$ は
$r=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^3(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^3(x_i-\overline{x})^2}\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^3(y_i-\overline{y})^2}}$
で与えられる．

座標空間内に $3$ 点 $\mbox{O}(0，0，0)$ ， $\mbox{A}(x_1，x_2，x_3)$ ， $\mbox{B}(y_1，y_2，y_3)$ をとる． $\mbox{O}$ を通り，方向ベクトルが $(1，1，1)$ の直線を $l$ とする． $l$ 上の点 $\mbox{P}$ を $\overrightarrow{\mbox{PA}}$ と $l$ が垂直になるようにとり， $l$ 上の点 $\mbox{Q}$ を $\overrightarrow{\mbox{QB}}$ と $l$ が垂直になるようにとる．以下の問に答えよ．

(1)　点 $\mbox{P}$ ，点 $\mbox{Q}$ の座標と内積 $\overrightarrow{\mbox{PA}}\bullet\overrightarrow{\mbox{QB}}$ を $\overline{x}$ ， $\overline{y}$ ， $s_x$ ， $s_y$ ， $r$ を用いて表せ．

(2) $a=\dfrac{|\overline{x}-\overline{y}|}{s_y}$ とおくとき， $\cos\angle\mbox{BPA}$ を $a$ と $r$ を用いて表せ．

(3) 点 $\mbox{A}$ と直線 $l$ を含む平面を $\alpha$ とする．平面 $\alpha$ 上の点 $\mbox{C}$ を $\overrightarrow{\mbox{PC}}=\overrightarrow{\mbox{PA}}+\overrightarrow{\mbox{PQ}}$ となるようにとる．点 $\mbox{B}$ は $\alpha$ 上にないとし， $\alpha$ 上の点 $\mbox{K}$ を $\overrightarrow{\mbox{KB}}$ と $\alpha$ が垂直になるようにとる．科目 $X$ と科目 $Y$ の得点の相関係数 $r$ が $0\lt r\lt\dfrac{s_x}{s_y}$ をみたすとき，点 $\mbox{K}$ は線分 $\mbox{QC}$ 上にあることを示せ．

本問のテーマ

相関係数と内積

2026.03.25.記
問題文の表は一部二重線が用いられていましたが，はてなブログで出すのが面倒だったので二重線は用いませんでした．

(1) $l$ に垂直な平面上では $x+y+z=(一定)$ ですから $\mbox{P}(\overline{x}，\overline{x}，\overline{x})$ となります．

(3) 線分の両端は含まない設定となっています．

[解答]
(1) $\vec{l}=(1，1，1)$ とおく． $\mbox{P}(p，p，p)$ とおくと $\overrightarrow{\mbox{PA}}$ と $l$ が垂直であるから， $\overrightarrow{\mbox{OP}}\bullet\vec{l}=\overrightarrow{\mbox{OA}}\bullet\vec{l}$ となり， $3p=x_1+x_2+x_3$ が成立するので $p=\overline{x}$ となる．よって， $\mbox{P}(\overline{x}，\overline{x}，\overline{x})$ となる．同様に $\mbox{Q}(\overline{y}，\overline{y}，\overline{y})$ となる．

このとき $\overrightarrow{\mbox{PA}}=(x_1-\overline{x}，x_2-\overline{x}，x_3-\overline{x})$ ， $\overrightarrow{\mbox{QB}}=(y_1-\overline{y}，y_2-\overline{y}，y_3-\overline{y})$ であるから， $s_x=\sqrt{\dfrac{1}{3}\displaystyle\sum_{i=1}^3(x_i-\overline{x})^2}$ ， $s_y=\sqrt{\dfrac{1}{3}\displaystyle\sum_{i=1}^3(y_i-\overline{y})^2}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PA}}\bullet\overrightarrow{\mbox{QB}}$ $=\displaystyle\sum_{i=1}^3(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})$ により， $\overrightarrow{\mbox{PA}}\bullet\overrightarrow{\mbox{QB}}$ $=3rs_xs_y$ となる．

(2) $|\overrightarrow{\mbox{PA}}|=\sqrt{3}s_x$ である．
$\overrightarrow{\mbox{PB}}=\overrightarrow{\mbox{PQ}}+\overrightarrow{\mbox{QB}}$ と $\overrightarrow{\mbox{PQ}}\perp\overrightarrow{\mbox{PA}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PQ}}\perp\overrightarrow{\mbox{QB}}$ から
$\overrightarrow{\mbox{PA}}\bullet\overrightarrow{\mbox{PB}}$ $=\overrightarrow{\mbox{PA}}\bullet\overrightarrow{\mbox{PB}}$ $=3rs_xs_y$ ，
$|\overrightarrow{\mbox{PB}}|=\sqrt{|\overrightarrow{\mbox{PQ}}|^2+|\overrightarrow{\mbox{QB}}|^2}$ $=\sqrt{3(\overline{x}-\overline{y})^2+3s_y^2}$ $=\sqrt{3}s_y\cdot \sqrt{a^2+1}$
となるので
$\cos\angle\mbox{BPA}$ $=\dfrac{\overrightarrow{\mbox{PA}}\bullet\overrightarrow{\mbox{PB}}}{|\overrightarrow{\mbox{PA}}|\cdot |\overrightarrow{\mbox{PB}}|}$ $=\dfrac{3rs_xs_y}{\sqrt{3}s_x\cdot\sqrt{3}s_y\sqrt{a^2+1}}$ $=\dfrac{r}{\sqrt{a^2+1}}$ となる．

(3) 点 $\mbox{B}$ から直線 $\mbox{AP}$ への垂線の足を $\mbox{L}$ とすると，点 $\mbox{K}$ が線分 $\mbox{QC}$ 上にあることと点 $\mbox{L}$ が線分 $\mbox{PA}$ 上にあることとは同値であり，それは $0\lt \overrightarrow{\mbox{PA}}\bullet\overrightarrow{\mbox{PB}}\lt |\overrightarrow{\mbox{PA}}|^2$ ，つまり $0\lt 3rs_xs_y\lt 3s_x^2$ ，つまり $0\lt r\lt \dfrac{s_x}{s_y}$ と同値である．

出題者の意図は，おそらく(3) を $0\lt \mbox{QK} \lt \mbox{QC}$ または $0\lt \mbox{PL} \lt \mbox{PA}$ によって導かせるためのヒントで，この場合， $0\lt \mbox{PL} \lt \mbox{PA}$ を用いると， $0\lt \mbox{PB}\cos\angle\mbox{BPA} \lt \mbox{PA}$ となり， $0\lt \sqrt{3}s_y\cdot\sqrt{a^2+1}\cdot\dfrac{r}{\sqrt{a^2+1}} \lt \sqrt{3}s_x$ から $0\lt r\lt \dfrac{s_x}{s_y}$ を導くことができます．しかし内積と正射影を結びつけることができていれば，(2)は余計なヒントになってしまいます．

このような不思議な出題になったのは，始点が異なるベクトル $\overrightarrow{\mbox{PA}}$ と $\overrightarrow{\mbox{QB}}$ のなす角度を考えるのが難しいと判断して， $\overrightarrow{\mbox{PA}}$ と $\overrightarrow{\mbox{PB}}$ のなす角度を経由させたからだと考えられます．

2026.03.18.12:03:15記

[3] $a$ を正の実数とする．関数 $f(x)=4ax^3+\dfrac{1-a}{a}-6\displaystyle\int_{x-1}^x (t^2+t)\, dt$ の $0\leqq x\leqq 1$ における最小値が正となるような $a$ の値の範囲を求めよ．

2026.03.20.19:26:13記
$f'(x)=12ax^2-6[(x^2+x)-\{(x-1)^2+(x-1)\}]$ $=12ax^2-12x=12x(ax-1)$ となりますが，結局 $f(x)$ が必要であり，積分部分を $0$ にする $x$ の値がないことから，素直に積分を実行しても手間は変わりません．

[解答]
$6\displaystyle\int_{x-1}^x (t^2+t)\, dt$ $=\Bigl[ 2t^3+3t^2\Bigr]_{x-1}^x$
$=2(3x^2-3x+1)+3(2x-1)=6x^2-1$ により， $f(x)=4ax^3-6x^2+\dfrac{1}{a}$ となる．

(i) $0\lt a\leqq 1$ のとき：

$x$	$0$	$\cdots$	$1$
$x$	$\dfrac{1}{a}$	$\searrow$	$\dfrac{4a^2-6a+1}{a}$

により， $0\lt a\lt\dfrac{3-\sqrt{5}}{4}$ となる．

(i) $1\lt a$ のとき：

$x$	$0$	$\cdots$	$\dfrac{1}{a}$	$\cdots$	$1$
$x$	$\dfrac{1}{a}$	$\searrow$	$\dfrac{a-2}{a^2}$	$\nearrow$	$\dfrac{4a^2-6a+1}{a}$

により， $2\lt a$ となる．

以上から， $0\lt a\lt\dfrac{3-\sqrt{5}}{4}$ または $2\lt a$ となる．

端点と極値が最小値の候補と考えると，

$f(0)=\dfrac{1}{a}$ （これは $a\gt 0$ で正），
$f(1)=4a+\dfrac{1}{a}-6=\dfrac{4a^2-6a+1}{a}$ （これは $0\lt a\lt\dfrac{3-\sqrt{5}}{4}$ または $\dfrac{3+\sqrt{5}}{4}\lt a$ で正），
$f\left(\dfrac{1}{a}\right)=-\dfrac{2}{a^2}+\dfrac{1}{a}=\dfrac{a-2}{a^2}$
（極小値が変域内に入る条件は $a\gt 1$ ，最小値が正となるのは $a\gt 2$ だから $a\gt 1$ ）
となり，求める $a$ の範囲が $0\lt a\lt\dfrac{3-\sqrt{5}}{4}$ または $2\lt a$ となることがわかります．

2026.03.18.12:03:15記

[1] 正の実数の列 $\{a_n\}$ が次の条件によって定められている．
$a_1=1$ ， $a_2=2$ ， $a_{n+2}=\dfrac{3^na_{n+1}^2}{a_n}$ （ $n=1，2，3，\cdots$ ）

(1) $b_n=\log_2 a_{n+1}-\log_2 a_{n}$ （ $n=1，2，3，\cdots$ ）と定めるとき，数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ．

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．

2026.03.20.記

[解答]
(1) $\log_2 a_{n+2}=2\log_2 a_{n+1} -\log_2a_n+n\log_2 3$ であるから，
$b_1=1$ ， $b_{n+1}-b_n+n\log _2 3$
となるので， $b_n=1+\dfrac{(n-1)n}{2}\log_2 3$ となる．

(2) $\log_2 a_n$ $=\log_2 1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \left(1+\dfrac{(k-1)k}{2}\log_2 3\right)$ $=0+(n-1)+\dfrac{(n-2)(n-1)n}{6}\log_2 3$ （ $n=1$ でも成立）であるから， $a_n=2^{n-1}\cdot 3^{\tfrac{(n-2)(n-1)n}{6}}$ となる．

2026.03.18.記

[5] さいころ $1$ 個を $3$ 回連続して投げ， $1$ 回目に出た目を $a$ ， $2$ 回目に出た目を $b$ ， $3$ 回目に出た目を $c$ とする．このとき， $a$ ， $b$ ， $c$ のなかで最大の数を $m$ とおき， $x=\dfrac{(a+b+c)^2}{3abc}$ とおく．

(1) $a=b=c$ であって， $x$ が整数である確率を求めよ．

(2) $m=6$ であって， $x$ が整数である確率を求めよ．

(3) $m$ が偶数であったとき， $x$ が整数である条件つき確率を求めよ．

2026.03.20.18:45:56記
最大値が $m$ となるのは $m^3-(m-1)^3$ 通りというのは有名です．

[解答]
(1) $a=b=c$ により $x=\dfrac{3}{a}$ であるから， $a=b=c=1，3$ の $2$ 通りとなるので求める確率は $\dfrac{2}{6^3}=\dfrac{1}{108}$ となる．

(2) $c=6$ の場合について考える．このとき $x=\dfrac{(a+b+6)^2}{18ab}$ が整数であるから， $(a+b+6)^2$ が $6$ の倍数，すなわち $a+b$ （ $\leqq 12$ ）が $6$ の倍数でなければならないが， $a+b=12$ ，すなわち $a=b=c=6$ のときは(1)より不適．よって $a+b=6$ である．

このとき $x=\dfrac{144}{18ab}=\dfrac{8}{ab}$ であるから， $\{a，b\}=\{2，4\}$ のとき $x=1$ となり適する．よって結局，求める場合は $\{a，b，c\}=\{2，4，6\}$ の $6$ 通りとなるので求める確率は $\dfrac{6}{6^3}=\dfrac{1}{36}$ となる．

(3)(i) $m=4$ であって， $x$ が整数となる場合について考える．
$c=4$ の場合について考える．このとき $x=\dfrac{(a+b+4)^2}{12ab}$ が整数であるから， $(a+b+4)^2$ が $6$ の倍数，すなわち $a+b$ （ $\leqq 8$ ）が $6$ で割って $2$ 余る必要があるが， $a+b=8$ ，すなわち $a=b=c=4$ のときは(1)より不適．よって $a+b=2$ ，つまり $a=b=1$ でなければならないが，このとき $x=\dfrac{6^2}{18}=2$ より適する．よって結局，求める場合は $\{a，b，c\}=\{1，1，4\}$ の $3$ 通りとなる．

(ii) $m=2$ であって， $x$ が整数となる場合について考える．
$c=2$ の場合について考える．このとき $x=\dfrac{(a+b+2)^2}{6ab}$ が整数であるから， $(a+b+2)^2$ が $6$ の倍数，すなわち $a+b$ （ $\leqq 4$ ）が $6$ で割って $4$ 余る必要があるが， $a+b=4$ ，すなわち $a=b=c=2$ のときは(1)より不適．よってこの場合に $x$ は整数とならない．

以上と(2)から， $m$ が偶数であったとき， $x$ が整数であるのは $9$ 通りであり， $m$ が偶数となるのは $(6^3-5^3)+(4^4-3^3)+(2^3-1^3)=135$ 通りであるから，求める条件つき確率は $\dfrac{9}{135}=\dfrac{1}{15}$ となる．

他の場合も考えると次のようになります．

$m=5$ であって， $x$ が整数となる場合について考える．
$c=5$ の場合について考える．このとき $x=\dfrac{(a+b+5)^2}{15ab}$ が整数であるから， $(a+b+5)^2$ が $15$ の倍数，すなわち $a+b=10$ から $a=b=c=5$ となるが(1)より不適．

$m=3$ であって， $x$ が整数となる場合について考える．
$c=3$ の場合について考える．このとき $x=\dfrac{(a+b+3)^2}{9ab}$ が整数であるから， $(a+b+3)^2$ が $9$ の倍数，すなわち $a+b$ （ $\leqq 6$ ）が $3$ の倍数． $a=b=c=3$ のときは(1)より適する． $a+b=3$ のときは $x=\dfrac{6^2}{18}=2$ より適する．