https://smooth-pudding.hatenablog.com/entry/2026/01/25/160242

まずは以下の動画を見てみてください。

ここで出された "最強の数学の問題" は以下のとおりです。

円周率 $- \tan 1^{\circ}$ の整数部分は素数か。

手頃な問題ですが、個人的に火力が足りなかったので、ちょっと改題して解いてみました。

観察

よく知られているように、円周率は約 3.14 です。また $\tan 45^\circ = 1$ で、 $1^\circ$ は $45^\circ$ より相当小さいので、 $\tan 1^\circ$ もかなり小さいでしょう。ということは十中八九 $\pi - \tan 1^\circ$ の整数部分は 3 でしょう。問題は「素数か」なので、2 or 3 であることを示せばOKです。

元の問題の解法

$2 < \pi - \tan 1^{\circ} < 4$ を示せば十分である。なぜならば、もしこれが成立するならば、 $\pi - \tan 1^{\circ}$ の整数部分は 2 または 3 であり、素数となるからである。

補題 1. $x > 0$ に対して $\sin x < x$ が成立する。

【補題1の証明】
$(\sin x)' = \cos x \leqq 1$ なので

$\displaystyle\sin x = \int_{0}^{x} \cos t \ \mathrm{d}t \leqq \int_{0}^{x} \mathrm{d}t = x \$ が成立する。等号成立は $x = 0$ の場合のみなので、 $x > 0$ のときは成立しない。
(補題1の証明終)

補題 2. $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ なる $x$ に対して $x < \tan x$ が成立する。

【補題2の証明】
$(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^{2} x} \geqq 1 \ \left(0 \leqq x < \dfrac{\pi}{2}\right)$ なので

$\displaystyle\tan x = \int_{0}^{x} \dfrac{\mathrm{d}t}{\cos^{2} t} \geqq \int_{0}^{x} \mathrm{d}t = x$ が成立する。等号成立は $x = 0$ の場合のみなので、 $x > 0$ のときは成立しない。
(補題2の証明終)

補題1, 2 より

$3 = 6 \sin \dfrac{\pi}{6} < \pi < 4 \tan \dfrac{\pi}{4} = 4$ が成立する。一方、 $\tan$ は単調増加なので $0 = \tan 0^{\circ} < \tan 1^{\circ} < \tan 45^{\circ} = 1$ である。以上から $2 < \pi - \tan 1^{\circ} < 4$ が従う。

火力を強化する

元の問題はかなりゆるゆる不等式評価で示せてしまったので、もっと強くしてみます。

円周率 $- \tan 1^{\circ}$ の整数部分は3であることを示せ。

この問題の場合、さらに強く $3 < \pi - \tan 1^{\circ} < 4$ を示す必要があります。上からの評価は既に与えているので、下からの評価を頑張ればOKです。

$\tan x$ が下に凸であることを利用すれば $\tan 1^{\circ} \leqq \dfrac{1}{45}$ が示せるので、 $\pi > 3 + \dfrac{1}{45} = 3.0222...$ を示せばOKです。なんかどこかの入試問題で見たのに似ていますね。

火力強化版の解答

$3 < \pi - \tan 1^{\circ} < 4$ を示せば十分である。 $\pi - \tan 1^{\circ} < 4$ は既に示されているので、以下では $3 < \pi - \tan 1^{\circ}$ を示す。

補題 3. $\tan x$ は $0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{4}$ で下に凸である。

【補題3の証明】
$0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{4}$ に対して

$(\tan x)'' = \left(\dfrac{1}{\cos^{2} x} \right)' = \dfrac{2 \sin x}{\cos^{3} x} \geqq 0$ より、下に凸である。

(補題3の証明終)

補題 4. $f(x)$ は $a \leqq x \leqq b$ で下に凸とする。このとき、任意の $0 \leqq t \leqq 1$ に対して $f((1 - t)a + tb) \leqq (1 - t) f(a) + t f(b)$ が成り立つ。

【補題4の証明】
$0 \leqq t \leqq 1$ に対して $\varphi(t)$ を

$\varphi(t) = f((1 - t)a + tb) - \{ (1 - t)f(a) + tf(b) \}$ と定義する。このとき $\varphi(0) = \varphi(1) = 0$ であり、さらに $f$ が下に凸であることから $\varphi''(t) \geqq 0$ が成立する。

$\varphi(t) \leqq 0$ が常に成立することを背理法により示す。そこで $\varphi(t_{0}) > 0$ なる $0 \leqq t_{0} \leqq 1$ が存在すると仮定する。

もし $\varphi'(t_{0}) \geqq 0$ ならば、 $t_{0} \leqq t \leqq 1$ なる $t$ に対して

$\displaystyle\varphi'(t) = \varphi'(t_{0}) + \int_{t_{0}}^{t} \varphi''(s) \ \mathrm{d}s \geqq \varphi'(t_{0}) \geqq 0$ が成り立つ。よって $\displaystyle\varphi(1) = \varphi(t_{0}) + \int_{t_{0}}^{1} \varphi'(s) \ \mathrm{d}s \geqq \varphi(t_{0}) > 0$ となるが、これは矛盾である。

もし $\varphi'(t_{0}) \leqq 0$ ならば、 $0 \leqq t \leqq t_{0}$ に対して

$\displaystyle\varphi'(t) = \varphi'(t_{0}) - \int_{t}^{t_{0}} \varphi''(s) \ \mathrm{d}s \leqq \varphi'(t_{0}) \leqq 0$ が成り立つ。よって $\displaystyle\varphi(0) = \varphi(t_{0}) - \int_{0}^{t_{0}} \varphi'(s) \ \mathrm{d}s \geqq \varphi(t_{0}) > 0$ となるが、これは矛盾である。

以上より $\varphi(t) \leqq 0$ が $0 \leqq t \leqq 1$ に対して成立することが示された。これは主張に他ならない。
(補題4の証明終)

補題 5. $\sin \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

【補題5の証明】
倍角の公式から

$\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \cos \dfrac{\pi}{4} = 1 - 2 \sin^{2} \dfrac{\pi}{8}$ なので $\sin^{2} \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{1}{2} \left( 1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = \dfrac{2 - \sqrt{2}}{4}$ である。 $\sin \dfrac{\pi}{8} > 0$ なので $\sin \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{ \sqrt{ 2 - \sqrt{2} } }{2}$ となる。
(補題5の証明終)

補題3, 4 から

$\begin{align} \tan 1^{\circ} &= \tan\left( \dfrac{44}{45} \cdot 0^{\circ} + \dfrac{1}{45} \cdot 45^{\circ} \right) \\ &\leqq \dfrac{44}{45} \cdot \tan 0^{\circ} + \dfrac{1}{45} \cdot \tan 45^{\circ} \\ &= \dfrac{1}{45} \end{align}$ が成り立つ。また補題1, 5 より $\pi > 8 \sin \dfrac{\pi}{8} = 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ が成り立つ。以上から $\pi - \tan 1^{\circ} > 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \dfrac{1}{45}$ である。

右辺が3より大きいことを示す。これを示すには

$\sqrt{2 - \sqrt{2}} > \dfrac{1}{4}\left( 3 + \dfrac{1}{45} \right) = \dfrac{34}{45}$ を示せば十分である。これを示すには $2 - \sqrt{2} > \left( \dfrac{34}{45} \right)^{2} = \dfrac{1156}{2025}$ を示せば十分である。これを示すには $\sqrt{2} < 2 - \dfrac{1156}{2025} = \dfrac{2894}{2025}$ を示せば十分である。これは $\left( \dfrac{2894}{2025} \right)^{2} = \dfrac{8375236}{4100625} > \dfrac{8201250}{4100625} = 2$ より成立する。

以上により $\pi - \tan 1^\circ > 3$ が示された。