https://smooth-pudding.hatenablog.com/entry/2026/01/22/232152

桂代数Ⅱとは、下記の『代数学Ⅱ 環上の加群』(桂利行著)です。
www.utp.or.jp

これの第１章の章末問題のある問題を解いてみます。

問題

(34) $n$ を自然数とする. $\mathbb{Z}$ -加群 $\mathbb{Z}^{n}$ の $\mathbb{Z}$ -部分加群 $N$ が有限指数であるとし, $\{ v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n} \}$ を $N$ の基底とする. ただし, 数ベクトルは縦ベクトルで表すとする. このとき, 加法群としての指数 $[ \mathbb{Z}^{n} : N ]$ は $\mathrm{det}(v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n})$ に等しいことを示せ.

ひとこと

テキストにある略解が "略" 解すぎてびっくりしたので、なるべく省略せずに解答を書いてみることにしました。

なお縦ベクトルを入れ替えると符号が入れ替わるので、実際には $|\mathrm{det}(v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n})|$ と等しいことを示します。

参考: テキストにある略解

ユニモジュラー変換*1で基底を取り替えても指数は変わらないから, 行列 $( v_{1}, \dots, v_{n})$ を基本変形して単因子 $e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}$ を得たとする. このとき, 指数は $e_{1} e_{2} \dots e_{n}$ である. よって指数は $\mathrm{det}(v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n})$ に等しい.

解答

以下、 $V = ( v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n} )$ とする。

補題1. $V$ は $n$ 個の単因子を持つ。

【補題1の証明】
$V$ の単因子を $e_{1}, e_{2}, \dots, e_{r}$ とする。 $r < n$ と仮定して矛盾を導く。あるユニモジュラー変換 $P, Q$ が存在して

$PVQ = \begin{pmatrix}e_{1} & & \huge{0} & \\ & \ddots & & \\ \huge{0} & & e_{r} & \\ & & & \huge{0}\end{pmatrix}$ が成り立つ。よって $v = \begin{pmatrix}0 & 0 & \cdots & 1\end{pmatrix}^{T} \in \mathbb{Z}^{n}$ とすると $PVQ v = 0$ が成り立つ。 $P^{-1}$ を左からかけて $v' = Qv$ とおけば $V v' = 0$ が成り立つ。この等式の左辺は $V$ の縦ベクトルの線形和とみなせるから、 $\{ v_{1}, \dots, v_{n} \}$ が線形独立であることより $v' = 0$ である。よって $v = Q^{-1} v' = 0$ となるが、これは矛盾である。

(補題1の証明終)

補題2. ユニモジュラー変換の行列式は $1$ または $-1$ である。

【補題2の証明】
$P \in M(n, \mathbb{Z})$ をユニモジュラー変換とする。定義より、ある $Q \in M(n, \mathbb{Z})$ が存在して $PQ = E$ が成立する。ただし $E$ は単位行列。辺々の行列式をとると $\mathrm{det}P \cdot \mathrm{det}Q = 1$ が成り立つ。 $\mathrm{det}P, \mathrm{det}Q \in \mathbb{Z}$ なので、 $\mathrm{det} P \in \{ 1, -1 \}$ である。
(補題2の証明終)

補題3. $A$ をユニモジュラー変換とする。 $v'_{i} = A v_{i} \ (i = 1, 2, \dots, n)$ と定義し、
$N' = \{ a_{1} v'_{1} + \dots + a_{n} v'_{n} | a_{1}, \dots, a_{n} \in \mathbb{Z} \}$ とする。このとき $N'$ は $\mathbb{Z}^{n}$ の $\mathbb{Z}$ -部分加群であり、 $[\mathbb{Z}^{n} : N] = [ \mathbb{Z}^{n} : N' ]$ が成り立つ。

(注: $(v'_{1}, \dots, v'_{n}) = A (v_{1}, \dots, v_{n})$ が成り立つ。)

【補題3の証明】
$N'$ が $\mathbb{Z}^{n}$ の $\mathbb{Z}$ -部分加群となることは明らか。 $A$ は加法群としての同型写像 $\varphi \colon \mathbb{Z}^{n} \to \mathbb{Z}^{n}$ を誘導する。このとき

$\mathbb{Z}^{n}/N \ni x + N \mapsto \varphi(x) + N' \in \mathbb{Z}^{n} / N'$ は well-defined である。実際、 $x - x' \in N$ なる $x, x' \in \mathbb{Z}^{n}$ を取れば $\varphi(x) - \varphi(x') = \varphi(x - x') \in N'$ を満たす。同様にして $\mathbb{Z}^{n} / N' \ni x + N' \mapsto \varphi^{-1}(x) + N \in \mathbb{Z}^{n} / N$ も well-defined であり、これらは互いに逆像の関係にある。したがって $[ \mathbb{Z}^{n} : N ] = | \mathbb{Z}^{n} / N | = | \mathbb{Z}^{n} / N' | = [ \mathbb{Z}^{n} : N' ]$ が成り立つ。

(補題3の証明終)

補題4. $A$ をユニモジュラー変換とする。 $V' = VA$ とするとき、 $V'$ の縦ベクトルたち $\{ v'_{1}, \dots, v'_{n} \}$ は $N$ の基底である。

【補題4の証明】
まず $\{ v'_{1}, \dots, v'_{n} \}$ が線形独立であることを示す。ある $a_{1}, \dots, a_{n} \in \mathbb{Z}$ に対して $a_{1} v'_{1} + \dots + a_{n} v'_{n} = 0$ が成立すると仮定する。すなわち

$V' \begin{pmatrix} a_{1} \\ \vdots \\ a_{n}\end{pmatrix} = 0$ とする。 $\begin{pmatrix}b_{1} \\ \vdots \\ b_{n}\end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} a_{1} \\ \vdots \\ a_{n}\end{pmatrix}$ により $b_{1}, \dots, b_{n} \in \mathbb{Z}$ を定義すると $V' \begin{pmatrix}a_{1} \\ \vdots \\ a_{n}\end{pmatrix} = V \begin{pmatrix}b_{1} \\ \vdots \\ b_{n} \end{pmatrix} = b_{1} v_{1} + \dots + b_{n} v_{n} = 0$ が成り立つ。 $\{ v_{1}, \dots, v_{n} \}$ が線形独立であることから $b_{1} = \dots = b_{n} = 0$ となる。これより $a_{1} = \dots = a_{n} = 0$ が従う。よって $\{ v'_{1}, \dots, v'_{n} \}$ は線形独立である。

$\{ v'_{1}, \dots, v'_{n} \}$ が $N$ を生成することを示す。 $\{ v_{1}, \dots, v_{n} \}$ は $N$ を生成するので、任意の $v \in N$ に対して $a_{1}, \dots, a_{n} \in \mathbb{Z}$ が存在して

$v = a_{1} v_{1} + \dots + a_{n} v_{n}$ が成り立つ。 $\begin{pmatrix}b_{1} \\ \vdots \\ b_{n}\end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix}a_{1} \\ \vdots \\ a_{n}\end{pmatrix}$ によって $b_{1}, \dots, b_{n} \in \mathbb{Z}$ を定めると $v = V \begin{pmatrix}a_{1} \\ \vdots \\ v_{n}\end{pmatrix} = V' \begin{pmatrix}b_{1} \\ \vdots \\ b_{n}\end{pmatrix} = b_{1} v'_{1} + \dots + b_{n} v'_{n}$ となる。すなわち $\{ v'_{1}, \dots, v'_{n} \}$ は $N$ を生成する。

以上から $\{ v'_{1}, \dots, v'_{n} \}$ は $N$ の基底である。

(補題4の証明終)

$V$ の単因子を $e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}$ とする (補題1による)。すなわち、あるユニモジュラー変換 $P, Q$ が存在して

$PVQ = \begin{pmatrix}e_{1} & & \huge{0} \\ & \ddots & \\ \huge{0} & & e_{n} \end{pmatrix}$ が成立するとする。この行列の縦ベクトルたちが生成する $\mathbb{Z}^{n}$ の $\mathbb{Z}$ -部分加群は $e_{1} \mathbb{Z} \times e_{2} \mathbb{Z} \times \dots \times e_{n} \mathbb{Z}$ と同型である。よって指数は $e_{1} e_{2} \dots e_{n}$ に等しい。また $PVQ = ...$ の両辺の行列式の絶対値をとれば、補題2より $|\mathrm{det} V| = |\mathrm{det} P| |\mathrm{det} V| |\mathrm{det} Q| = | \mathrm{det} PVQ | = e_{1} e_{2} \dots e_{n}$ である。補題3, 4 よりこれは $[\mathbb{Z}^{n} : N]$ に等しい。

*1: $M(n, \mathbb{Z})$ の可逆元のことをユニモジュラー変換と呼びます。