https://smooth-pudding.hatenablog.com/entry/2026/01/17/210153

桂代数Ⅱとは、下記の『代数学Ⅱ 環上の加群』(桂利行著)です。
www.utp.or.jp

これの第１章の章末問題のある問題を解いてみます。

問題

(26) $R$ を環とする. $R$ -加群 $N$ が有限表示 (finite representation) であるとは, 自然数 $m, n$ が存在して
$R^{n} \longrightarrow R^{m} \longrightarrow N \longrightarrow 0$ なる完全系列が存在することをいう. $0 \to L \overset{\iota}{\longrightarrow} M \overset{\pi}{\longrightarrow} N \to 0$ が $R$ -加群の完全系列であるとき, $L, N$ が有限表示の $R$ -加群であれば, $M$ も有限表示であることを示せ.

ひとこと

解答ページに書いてある通りなのですが、まとめ直したくなったので、行間をある程度埋めてみました。あと、 $M$ から $N$ への写像は印刷だと $\iota$ になっているのですが、解答では $\pi$ になっていたので、誤植とみなして差し替えています。

解答

$L, N$ は有限表示なので、以下の図式のような自然数 $m_{1}, n_{1}, m_{2}, n_{2}$ および $R$ -準同型写像 $\varphi_{1}, \psi_{1}, \varphi_{2}, \psi_{2}$ が存在する。

以下の図式を可換にするような $R$ -準同型写像 $\varphi \colon R^{m_{1}} \to M$ が存在することを示す。

$R^{m_{1}}$ の基底のひとつを $\{ x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m_{1}} \}$ とする。 $\pi$ は全射なので、各 $i = 1, 2, \dots, m_{1}$ に対して $\pi(y_{i}) = \varphi_{1}(x_{i})$ となる $y_{i} \in M$ が存在する。任意の $r_{1}, r_{2}, \dots, r_{m_{1}} \in R$ に対して

$\displaystyle \varphi\left( \sum_{i} r_{i} x_{i} \right) = \sum_{i} r_{i} y_{i}$ と定めると、 $\varphi$ は $R^{m_{1}}$ から $M$ への $R$ -準同型写像となる。さらに $\begin{align} (\pi \circ \varphi)\left( \sum_{i} r_{i} x_{i} \right) &= \pi\left( \sum_{i} r_{i} y_{i} \right) \\ &= \sum_{i} r_{i} \pi(y_{i}) \\ &= \sum_{i} r_{i} \varphi_{1}(x_{i}) \\ &= \varphi_{1}\left( \sum_{i} r_{i} x_{i} \right) \end{align}$ となることから $\pi \circ \varphi = \varphi_{1}$ であり、図式が可換であることがわかる。

次に、以下の図式を可換にするような $R$ -準同型写像 $\psi \colon R^{n_{1}} \to R^{m_{2}}$ が存在することを示す。

（※注：後の流れを追うために、この図式をメモっておくことをお勧めします。）

$R^{n_{1}}$ の基底のひとつを $\{ \xi_{1}, \xi_{2}, \dots, \xi_{n_{1}} \}$ とする。 $0 = \varphi_{1} \circ \psi_{1} = \pi \circ \varphi \circ \psi_{1}$ なので、 $\mathop{\mathrm{Im}}{(\varphi \circ \psi_{1})} \subset \mathop{\mathrm{Ker}}{\pi} = \mathop{\mathrm{Im}}{\iota}$ が成り立つ。また $\varphi_{2}$ は全射である。よって各 $i = 1, 2, \dots, n_{1}$ に対して $(\varphi \circ \psi_{1})(\xi_{i}) = (\iota \circ \varphi_{2})(\eta_{i})$ となるような $\eta_{i} \in R^{m_{2}}$ が存在する。任意の $r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n_{1}} \in R$ に対して

$\displaystyle \psi\left( \sum_{i} r_{i} \xi_{i} \right) = \sum_{i} r_{i} \eta_{i}$ と定めると、 $\psi$ は $R^{n_{1}}$ から $R^{m_{2}}$ への $R$ -準同型写像となる。さらに
$\begin{align} (\iota \circ \varphi_{2} \circ \psi)\left( \sum_{i} r_{i} \xi_{i} \right) &= (\iota \circ \varphi_{2})\left( \sum_{i} r_{i} \eta_{i} \right) \\ &= \sum_{i} r_{i} (\iota \circ \varphi_{2})(\eta_{i}) \\ &= \sum_{i} r_{i} (\varphi \circ \psi_{1})(\xi_{i}) \\ &= (\varphi \circ \psi_{1})\left( \sum_{i} r_{i} \xi_{i} \right) \end{align}$ となることから $\iota \circ \varphi_{2} \circ \psi = \varphi \circ \psi_{1}$ であり、図式が可換であることがわかる。

さて、 $R$ -準同型写像 $f \colon R^{n_{1}} \times R^{n_{2}} \to M$ を

$f(x, y) = \varphi(x) - (\iota \circ \varphi_{2})(y)$ と定め、さらに $R$ -準同型写像 $g \colon R^{m_{1}} \times R^{m_{2}} \to R^{n_{1}} \times R^{n_{2}}$ を $g(x, y) = (\psi_{1}(x), \psi(x) - \psi_{2}(y))$ と定める。このとき $R^{m_{1}} \times R^{m_{2}} \overset{g}{\longrightarrow} R^{n_{1}} \times R^{n_{2}} \overset{f}{\longrightarrow} M \longrightarrow 0$ が完全系列となることを確認する。

まず

$\begin{align} (f \circ g)(x, y) &= \varphi( \psi_{1}(x) ) - (\iota \circ \varphi_{2})( \psi(x) - \psi_{2}(y) ) \\ &= (\varphi \circ \psi_{1})(x) - (\iota \circ \varphi_{2} \circ \psi)(x) \quad (\because \varphi_{2} \circ \psi_{2} = 0) \\ &= 0 \quad (\because \varphi \circ \psi_{1} = \iota \circ \varphi_{2} \circ \psi) \end{align}$ より $f \circ g = 0$ である。また $(x, y) \in \mathop{\mathrm{Ker}} f$ とすると $\varphi(x) = (\iota \circ \varphi_{2})(y)$ が成り立つ。 $\varphi_{1}(x) = (\pi \circ \varphi)(x) = (\pi \circ \iota \circ \varphi_{2})(y) = 0 \quad (\because \pi \circ \iota = 0)$ より $x \in \mathop{\mathrm{Ker}}{\varphi_{1}} = \mathop{\mathrm{Im}}{\psi_{1}}$ なので、 $x = \psi_{1}(x')$ となる $x' \in R^{n_{1}}$ が存在する。
$\begin{align} (\iota \circ \varphi_{2})( \psi(x') - y ) &= (\iota \circ \varphi_{2} \circ \psi)(x') - (\iota \circ \varphi_{2})(y) \\ &= (\varphi \circ \psi_{1})(x') - \varphi(x) \\ &= 0 \end{align}$ が成り立つので $\psi(x') - y \in \mathop{\mathrm{Ker}}{(\iota \circ \varphi_{2})}$ である。 $\iota$ は単射なので $\psi(x') - y \in \mathop{\mathrm{Ker}}{\varphi_{2}}$ が従う。 $\mathop{\mathrm{Ker}}{\varphi_{2}} = \mathop{\mathrm{Im}}{\psi_{2}}$ なので、 $\psi(x') - y = \psi_{2}(y')$ となる $y' \in R^{n_{2}}$ が存在する。このとき $g(x', y') = ( \psi_{1}(x'), \psi(x') - \psi_{2}(y') ) = (x, y)$ が成り立つので、 $(x, y) \in \mathop{\mathrm{Im}}{g}$ である。以上から $\mathop{\mathrm{Im}}{g} = \mathop{\mathrm{Ker}}{f}$ である。

最後に $f$ が全射であることを示す。 $m \in M$ とする。 $\varphi_{1}$ は全射なので、 $\pi(m) = \varphi_{1}(x)$ となる $x \in R^{m_{1}}$ が存在する。 $m' = \varphi(x) - m$ とする。 $m' \in \mathop{\mathrm{Ker}}{\pi} = \mathop{\mathrm{Im}}{\iota}$ であり、かつ $\varphi_{2}$ は全射なので、 $(\iota \circ \varphi_{2})(y) = m'$ となる $y \in R^{m_{2}}$ が存在する。以上から

$\begin{align} f(x, y) &= \varphi(x) - (\iota \circ \varphi_{2})(y) \\ &= \varphi(x) - \varphi(x) + m \\ &= m \end{align}$ が成立する。すなわち $f$ は全射である。