https://smooth-pudding.hatenablog.com/entry/2025/12/10/205450

桂代数Iとは、下記の『代数学I 群と環』(桂利行著)です。
www.utp.or.jp

これの第２章の章末問題のある問題に反例が見つかったので紹介します。

問題

環 $R$ の部分集合 $S (\neq 0)$ が

$1 \in S, 0 \notin S, \ \text{かつ} \ s, t \in S \Longrightarrow st \in S$ を満たすとき $S$ を $R$ の積閉集合 (multiplicative set) という. $S$ が $R$ の積閉集合とするとき, 直積集合 $R \times S$ の元に同値関係を
$(a, s) \sim (b, t) \iff \exists u \in S \ \mathrm{s.t.} \ uta = usb$ により定義し, $(a, s)$ を含む同値類を $a/s$ と書く.
(i) これが同値関係になっていることを確かめよ.

ひとこと

軽く調べてみると、この議論は可換環に対して行うものだとわかります。例えば以下のサイト。
univ-math.com

なので問題文に「 $R$ を単位元をもつ可換環とする」を補って読むのがおそらく正解です。非可換の場合だとどうだろうと考えたところ、普通に反例ができたので、記事にすることにしました。

反例

反射律と対称律は成立する。推移律について反例がある。

$R$ を2行2列の実行列全体の環、 $S \subset R$ を正則行列全体とする。

$E \in S$ , $O \notin S$ , かつ $A, B \in S \Rightarrow AB \in S$ なので、 $S$ は $R$ の積閉集合である。ただし $E$ は単位行列、 $O$ は零行列。

$s_{1}, s_{2}, s_{3} \in S$ を以下で定める。

$s_{1} = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}, \quad s_{2} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix}, \quad s_{3} = E$ このとき
$s_{1}^{-1} = \begin{pmatrix}1 & -1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}, \quad s_{2}^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ -1 & 1\end{pmatrix}$ である。

次に $a_{1}, a_{2}, a_{3} \in R$ を以下で定める。

$\begin{aligned} a_{1} &= E, \\ a_{2} &= s_{1}^{-1} s_{2} a_{1} = \begin{pmatrix}1 & -1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}, \\ a_{3} &= s_{2}^{-1} s_{3} a_{2} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ -1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 2\end{pmatrix} \end{aligned}$

このとき

$E s_{1} a_{2} = E s_{2} a_{1}, \quad E s_{2} a_{3} = E s_{3} a_{2}$ が成り立つので、 $(a_{1}, s_{1}) \sim (a_{2}, s_{2})$ かつ $(a_{2}, s_{2}) \sim (a_{3}, s_{3})$ である。

もし $(a_{1}, s_{1}) \sim (a_{3}, s_{3})$ なら、ある $u \in S$ が存在して $u s_{1} a_{3} = u s_{3} a_{1}$ が成り立つ。 $u$ は正則行列なので、 $u^{-1}$ を左から掛けることで $s_{1} a_{3} = s_{3} a_{1}$ を得る。ところが

$s_{1} a_{3} = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}, \quad s_{3} a_{1} = E$ より $s_{1} a_{3} \neq s_{3} a_{1}$ である。これは矛盾。よって $(a_{1} s_{1}) \not\sim (a_{3}, s_{3})$ である。