https://smooth-pudding.hatenablog.com/entry/2025/11/29/095432

ちょっとした数学の問題を考えていたので、その計算結果をまとめたいと思います。

問題

あるルーレットは $1$ から $n$ の数字があり、それぞれの出る確率は $p_{1}, \dots, p_{n}$ であるとする。また抽選ボックスが $n$ 個あり、それぞれには $1$ から $n$ の番号が割り振られていて、それぞれの中には数字の書かれたボールがたくさん入っている。抽選ボックス $i \ (= 1, \dots, n)$ から無作為にボールを取り出したときの数字の期待値は $\mu_{i}$ 、分散は $v_{i}$ であるとする。

これらを用いた次のゲームを考える。

ルーレットを回す。出た数字を $i$ とする。
抽選ボックス $i$ から無作為にボールを取り出し、書かれた数字を得点とする。

このとき、得点の期待値と分散はどのように表せるか？

解答

抽選ボックス $i$ に入っているボールに書かれた数字を $x^{(i)}_{j}$ $(j = 1, \dots, m_{i})$ とする。また、抽選ボックス $i$ からボールを取り出したときに、数字が $x^{(i)}_{j}$ である確率を $q^{(i)}_{j}$ とする。

各抽選ボックスの期待値と分散が与えられているので、関係式として整理しておく。

$\begin{gathered} \mu_{i} = \sum_{j = 1}^{m_{i}} q^{(i)}_{j} x^{(i)}_{j}, \\ v_{i} = M_{i} - \mu_{i}^{2}, \\ M_{i} = \sum_{j = 1}^{m_{i}} q^{(i)}_{j} ( x^{(i)}_{j} )^{2} \end{gathered}$

得点の期待値 $\mu$ は以下で計算される。

$\begin{aligned} \mu &= \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m_{i}} p_{i} q^{(i)}_{j} x^{(i)}_{j} \\ &= \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \sum_{j = 1}^{m_{i}} q^{(i)}_{j} x^{(i)}_{j} \\ &= \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \mu_{i} \end{aligned}$

得点の分散 $v$ は

$\begin{gathered} v = M - \mu^{2}, \\ M = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m_{i}} p_{i} q^{(i)}_{j} ( x^{(i)}_{j} )^{2} \end{gathered}$ と表せる。 $M$ をもう少し整理してみると
$\begin{aligned} M &= \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m_{i}} p_{i} q^{(i)}_{j} ( x^{(i)}_{j} )^{2} \\ &= \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \sum_{j = 1}^{m_{i}} q^{(i)}_{j} ( x^{(i)}_{j} )^{2} \\ &= \sum_{i = 1}^{n} p_{i} M_{i} \\ &= \sum_{i = 1}^{n} p_{i} ( v_{i} + \mu_{i}^{2} ) \\ &= \sum_{i = 1}^{n} p_{i} v_{i} + \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \mu_{i}^{2} \end{aligned}$ となる。したがって
$\begin{aligned} v &= M - \mu^{2} \\ &= \sum_{i = 1}^{n} p_{i} v_{i} + \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \mu_{i}^{2} - \mu^{2} \end{aligned}$ となる。

まとめると、得点の期待値 $\mu$ と分散 $v$ は以下で与えられる。

$\begin{cases} \displaystyle \mu = \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \mu_{i}, \\ \displaystyle v = \sum_{i = 1}^{n} p_{i} v_{i} + \left( \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \mu_{i}^{2} - \mu^{2} \right) \end{cases}$

結果の解釈

各項は以下のように解釈できる。

$\sum\limits_{i = 1}^{n} p_{i} \mu_{i}$ : 抽選ボックスの期待値の期待値
$\sum\limits_{i = 1}^{n} p_{i} v_{i}$ : 抽選ボックスの分散の期待値
$\sum\limits_{i = 1}^{n} p_{i} \mu_{i}^{2} - \mu^{2}$ : 抽選ボックスの期待値の分散