https://smooth-pudding.hatenablog.com/entry/2025/11/24/190358

桂代数Iとは、下記の『代数学I 群と環』(桂利行著)です。
www.utp.or.jp

これの第１章の章末問題のある問題を解いてみます。

問題

(59) $G$ の中心を $Z$ , $G/Z$ の中心を $Z_{1}/Z$ , $G/Z_{1}$ の中心を $Z_{2}/Z_{1}, \dots$ によって $Z_{i}$ たちを定義する.

$\{ e \} \subset Z \subset Z_{1} \subset Z_{2} \subset \cdots$ において, ある $n$ について, $Z_{n} = G$ が成立することと $G$ がべき零群であることは同値であることを示せ.

ひとこと

略解の後半の数学的帰納法の向きがバグっていたので、解答を作り直してみます。

なお、べき零群の定義は直前の問題 (58) にあります。 $R_{n}$ の記法も問題 (58) に準拠します。

解答

前半で

$(\exists n, Z_{n} = G) \Rightarrow \text{$G$ はべき零}$ を示し、後半で
$\text{$G$ はべき零} \Rightarrow (\exists n, Z_{n} = G)$ を示す。

説明の便宜上、 $Z_{-1} = \{ e \}$ , $Z_{0} = Z$ とする。 $G / Z_{-1} \cong G$ に注意すると、これは $Z_{1}, Z_{2}, \dots$ の定義と整合的である。

前半

ある $n > 0$ で $Z_{n} = G$ が成り立つとする。 $Z(G / Z_{n-1}) = G / Z_{n-1}$ なので、 $G / Z_{n-1}$ は可換である。すなわち

$\forall x, \forall y \in G, [x, y] \in Z_{n - 1}$ が成立する。これより $Z_{n-1} \supset [G, G] = R_{1}$ が成り立つ。

数学的帰納法により $R_{i} \subset Z_{n - i}$ $(i = 1, 2, \dots)$ を示す。

$i = 1$ の場合はすでに示した。ある $i$ で成立することを仮定すると

$Z( G / Z_{n - i - 1} ) = Z_{n - i} / Z_{n - i - 1}$ より
$\forall g \in G, \forall z \in Z_{n - i}, [ z, g ] \in Z_{n - i - 1}$ であることから
$R_{i + 1} = [ R_{i}, G ] \subset [ Z_{n - i}, G ] \subset Z_{n - i - 1}$ が示される。

以上により $R_{i} \subset Z_{n - i}$ $(i = 1, 2, \dots)$ が示された。特に $i = n + 1$ の場合を考えると

$R_{n + 1} \subset Z_{-1} = \{ e \}$ を得る。すなわち $G$ はべき零群である。

後半

$G$ がべき零群であると仮定する。 $G = \{ e \}$ の場合は明らかなので、 $G \neq \{ e \}$ を仮定する。このとき $R_{n} \neq \{ e \}$ かつ $R_{n + 1} = \{ e \}$ となる $n \geqq 0$ が存在する。このとき $[ R_{n}, G ] = \{ e \}$ なので、 $R_{n} \subset Z(G) = Z_{0}$ である。

数学的帰納法により $R_{n - i} \subset Z_{i}$ $(i = 0, 1, \dots)$ を示す。

$i = 0$ の場合はすでに示した。ある $i$ で成立することを仮定する。 $x \in R_{n - i - 1}$ とすると、 $R_{n - i} = [ R_{n - i - 1}, G ]$ であることから

$\forall g \in G, [ x, g ] \in R_{n - i} \subset Z_{i}$ が従う。よって
$x Z_{i} \in Z( G / Z_{i} ) = Z_{i + 1} / Z_{i}$ となるので、 $x \in Z_{i + 1}$ である。すなわち $R_{n - i - 1} \subset Z_{i + 1}$ である。

以上により $R_{n - i} \subset Z_{i}$ $(i = 0, 1, \dots)$ が示された。特に $i = n$ の場合を考えると

$R_{0} = G \subset Z_{n}$ となるので $Z_{n} = G$ である。