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桂代数Iとは、下記の『代数学I 群と環』(桂利行著)です。
www.utp.or.jp

これの第１章の章末問題のある問題を解いてみます。

問題

(22) 次の群の自己準同型写像をすべて求めよ.
(i) 位数 $n$ ( $n < \infty$ ) の巡回群 $\mathbf{Z}/n \mathbf{Z}$
(ii) 無限巡回群 $\mathbf{Z}$
(iii) 加法群 $\mathbb{Q}$
(iv) クラインの4群

ひとこと

略解には以下のようにあります。

(22)(i) $\mathbf{Z}/n \mathbf{Z}$ (ii) $\mathbf{Z}$ (iii) $\mathbf{Q}$ (iv) $M(2, \mathbf{Z}/2 \mathbf{Z})$

これだけ見てもナンノコッチャだったので記事を書くことにしました。

解答

(i) 準同型 $\phi \colon \mathbf{Z} / n \mathbf{Z} \to \mathbf{Z} / n \mathbf{Z}$ は $\phi(1)$ の値によって定まる。すなわち $\phi(1) \in \mathbf{Z} / n \mathbf{Z}$ の自由度だけある。具体的には、各 $a + n \mathbf{Z} \in \mathbf{Z} / n \mathbf{Z}$ に対して

$\phi_{a}(x + n \mathbf{Z}) = a x + n \mathbf{Z}$ と定まる写像 *1はいずれも準同型写像で相異なり、これらですべてである。
(ii) 準同型 $\phi \colon \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}$ は $\phi(1)$ の値によって定まる。すなわち $\phi(1) \in \mathbf{Z}$ の自由度だけある。具体的には、各 $a \in \mathbf{Z}$ に対して
$\phi_{a}(x) = ax$ と定まる写像はいずれも準同型写像で相異なり、これらですべてである。
(iii) 準同型 $\phi \colon \mathbf{Q} \to \mathbf{Q}$ は $\phi(1)$ の値によって定まる。これは (i) や (ii) ほど自明でないので証明する。
$a = \phi(1) \in \mathbf{Q}$ とおく。まず整数 $x \in \mathbf{Z}$ に対しては $\phi(x) = a x$ となる。一般の有理数は $\frac{x}{y}$ ( $x, y \in \mathbf{Z}, y > 0$ ) と表せるので
$y \phi\left( \dfrac{x}{y} \right) = \underbrace{\phi\left(\dfrac{x}{y}\right) + \cdots + \phi\left( \dfrac{x}{y} \right)}_{y} = \phi(x) = a x$ となる。したがって $\phi(\frac{x}{y}) = a \cdot \frac{x}{y}$ である。
すなわち $\mathbf{Q}$ 上の自己準同型写像は $a \in \mathbf{Q}$ に対して
$\phi_{a} (x) = a x$ と定まる写像ですべてであり、これらは $a$ ごとに相異なる。
(iv) まずクラインの4群が $\mathbf{Z}/2 \mathbf{Z} \times \mathbf{Z} / 2 \mathbf{Z}$ と同型であることを用いる。これは後で示すことにして、 $\mathbf{Z} / 2 \mathbf{Z} \times \mathbf{Z} / 2 \mathbf{Z}$ 上の自己準同型について考える。
この群の生成元として
$\begin{pmatrix}1 + 2 \mathbf{Z} \\ 0 + 2 \mathbf{Z}\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}0 + 2 \mathbf{Z} \\ 1 + 2\mathbf{Z}\end{pmatrix}$ が取れる。それぞれの像を定めれば、準同型写像が定まる。そこでそれぞれの像を
$\begin{pmatrix}a + 2 \mathbf{Z} \\ b + 2 \mathbf{Z}\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}c + 2 \mathbf{Z} \\ d + 2 \mathbf{Z}\end{pmatrix}$ とすれば、この写像は行列
$\begin{pmatrix}a + 2 \mathbf{Z} & c + 2 \mathbf{Z} \\ b + 2 \mathbf{Z} & d + 2 \mathbf{Z}\end{pmatrix} \in M(2, \mathbf{Z} / 2 \mathbf{Z})$ を掛ける操作に等しい。すなわち $\mathbf{Z} / 2 \mathbf{Z} \times \mathbf{Z} / 2 \mathbf{Z}$ 上の自己準同型は、各 $A \in M(2, \mathbf{Z} / 2 \mathbf{Z})$ に対して
$\phi_{A}(x) = A x$ と定まる写像ですべてであり、これらは $A$ ごとに異なる。
さて、クラインの4群が $\mathbf{Z} / 2 \mathbf{Z} \times \mathbf{Z} / 2 \mathbf{Z}$ と同型であることを示そう。本文 p.12 (初版) を参照すると、クラインの4群 $V$ は
$V = \{ (1), (1 3) (2 4), (1 2)(3 4), (1 4)(2 3) \}$ と表されるとの記述がある。これを元に
$e = (1), \quad \sigma = (1 3)(2 4), \quad \tau = (1 2)(3 4)$ とおくと
$(1 4)(2 3) = \sigma \tau = \tau \sigma, \quad \sigma^{2} = \tau^{2} = e$ が成立する。そこで $\phi \colon V \to \mathbf{Z} / 2 \mathbf{Z} \times \mathbf{Z} / 2 \mathbf{Z}$ を

$\begin{gathered} \sigma \mapsto \begin{pmatrix}1 + 2 \mathbf{Z} \\ 0 + 2 \mathbf{Z}\end{pmatrix}, \quad \tau \mapsto \begin{pmatrix}0 + 2 \mathbf{Z} \\ 1 + 2 \mathbf{Z}\end{pmatrix}, \\ e \mapsto \begin{pmatrix}0 + 2 \mathbf{Z} \\ 0 + 2 \mathbf{Z}\end{pmatrix}, \quad \sigma \tau \mapsto \begin{pmatrix}1 + 2 \mathbf{Z} \\ 1 + 2 \mathbf{Z}\end{pmatrix} \end{gathered}$ と定めれば、これは同型写像となる。よってクラインの4群は $\mathbf{Z} / 2 \mathbf{Z} \times \mathbf{Z} / 2 \mathbf{Z}$ と同型。

*1:本当は well-definedness の証明が必要だが、明らかなので省略。