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桂代数Iとは、下記の『代数学I 群と環』(桂利行著)です。
www.utp.or.jp

これの第１章の章末問題のある問題を解いてみます。

問題

(21) 位数 $n$ の有限群 $G$ の自己同型写像の個数は $n^{\log_{2} n}$ 以下であることを示せ.

※初版第10刷時点で、問題文には $n \log_{2} n$ と書かれていますが、略解を見ると $n^{\log_{2} n}$ を示しているので、誤植です。

解答

$n = 1$ の場合は明らかなので、以下では $n \geqq 2$ の場合を考える。

$n$ が以下の形に素因数分解されるとする。

$\displaystyle n = p_{1}^{m_{1}} p_{2}^{m_{2}} \cdots p_{k}^{m_{k}}$ ただし $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{k}$ は相異なる素数であり、 $m_{1}, m_{2}, \dots, m_{k}$ は正の整数とする。

$G$ の元の列 $\{ x_{i} \}$ を以下の手順で構成する。

$G$ の元であって、単位元ではないもののひとつを $x_{1}$ とする。
を取ったとき:
1. もし $\langle x_{1}, \dots, x_{i}\rangle = G$ ならこの手順を終了する。
2. もし $\langle x_{1}, \dots, x_{i}\rangle \neq G$ なら、 $G \setminus \langle x_{1}, \dots, x_{i} \rangle$ の元のひとつを $x_{i + 1}$ とする。

以上の手順は明らかに有限回のステップで終わるので、この列の長さを $I$ とする。また $H_{i} = \langle x_{1}, \dots, x_{i} \rangle$ とする。

さて、構成の仕方から、各 $H_{i}$ は $H_{i + 1}$ の部分群なので、 $|H_{i}|$ は $|H_{i + 1}|$ の約数である。特に $H_{I} = G$ であることから、各 $i$ に対して、ある非負整数 $m^{(i)}_{1}, m^{(i)}_{2}, \dots, m^{(i)}_{k}$ が存在して

$\displaystyle | H_{i} | = p_{1}^{m^{(i)}_{1}} p_{2}^{m^{(i)}_{2}} \cdots p_{k}^{m^{(i)}_{k}}$ と表せる。さらに、各 $i$ に対して、 $m^{(i)}_{j} \leqq m^{(i + 1)}_{j}$ が $j = 1, 2, \dots, k$ に対して成り立ち、そのうち少なくともひとつの $j$ では $m^{(i)}_{j} < m^{(i + 1)}_{j}$ が成り立つ。そこで
$s_{i} = m^{(i)}_{1} + m^{(i)}_{2} + \cdots + m^{(i)}_{k}$ とすれば、
$s_{1} < s_{2} < \dots < s_{I} = m_{1} + m_{2} + \dots + m_{k}$ が成立する。これと $s_{1} \geqq 1$ であることから
$I \leqq m_{1} + m_{2} + \cdots + m_{k}$ が従う。

また

$n = p_{1}^{m_{1}} p_{2}^{m_{2}} \cdots p_{k}^{m_{k}} \geqq 2^{m_{1}} 2^{m_{2}} \cdots 2^{m_{k}} = 2^{m_{1} + \dots + m_{k}}$ が成立するので、
$m_{1} + m_{2} + \dots + m_{k} \leqq \log_{2} n$ が成立する。

$G$ の自己準同型写像が生成元 $x_{1}, \dots, x_{I}$ の行き先で定まることを示す。 $G$ の自己準同型写像 $\phi, \psi$ は

$\phi(x_{i}) = \psi(x_{i}) \quad (i = 1, 2, \dots, I)$ を満たすとする。任意の $x \in G$ に対して
$x = g_{1} g_{2} \cdots g_{\ell}$ となる $g_{1}, g_{2}, \dots, g_{\ell} \in \{ x_{1}, x_{2}, \dots, x_{I}\}$ を取れることから、
$\phi(x) = \phi(g_{1}) \phi(g_{2}) \cdots \phi(g_{\ell}) = \psi(g_{1}) \psi(g_{2}) \cdots \psi(g_{\ell}) = \psi(x)$ が成立する。すなわち $\phi$ と $\psi$ は一致する。

したがって $G$ の自己同型の数は、生成元 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{I}$ のそれぞれに対して $G$ の元に対応させる方法の数 $n^{I}$ 以下である。

以上から $G$ の自己同型写像の個数は $n^{\log_{2} n}$ 以下である。