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桂代数I 第１章章末問題 (6)(iv) 解答

数学

桂代数Iとは、下記の『代数学I 群と環』(桂利行著)です。
www.utp.or.jp

これの第１章の章末問題のある問題を解いてみます。

問題

(6) 次の群は自明でない有限部分群を持つか.
(iv) 上半三角べき単実行列の全体（すなわち, 上半三角実行列で, 対角成分が 1 であるものの全体）.

解答

持たない. 以下ではこれを示す.

$n$ 次上半三角べき単実行列の全体を $G$ とする. もし自明でない有限部分群が存在するならば, ある単位行列ではない $A \in G$ であって, 位数が有限であるものが存在する. すなわち, ある正の整数 $N$ が存在して, $A^{N} = E$ ( $E$ は単位行列) が成立する.

一方, $(A - E)^{n} = O$ ( $O$ は零行列) が成立する. これは, 任意の $v \in \mathbf{R}^{n}$ に対して $(A - E)^{k} v$ の第 $(n - k + 1)\sim n$ 成分が 0 となることが $k$ による数学的帰納法により示せることから従う.

以上から, $A$ の最小多項式を $\varphi(x)$ とすれば, $x^{N} - 1$ と $(x - 1)^{n}$ は $\varphi(x)$ で割り切れることが分かる. この条件を満たすのは $\varphi(x) = x - 1$ のみである. このとき $A - E = O$ となるが, これは $A$ が単位行列ではないという仮定に反する.

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