https://smooth-pudding.hatenablog.com/entry/2021/01/17/125229

次のような因数分解の公式が知られています。数Iぐらいで習うのではないでしょうか。

$\begin{align} &\phantom{{}={}} a^3+b^3+c^3-3abc \\ &= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \end{align}$
数Iで習う公式の中ではおそらく最も覚えるのが大変なのではないかと思います。この記事ではこの公式の導出方法をいくつか紹介します。

展開する方法

因数分解が正しいことを確認する最も基本的な方法です。地道に展開しましょう。数I以外の知識は特に使いません。

$\begin{align} &\phantom{{}={}} (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \\ &= a^3 + ab^2 + ac^2 - a^2 b - abc - a^2 c \\ &\hphantom{{}={}} + a^2b + b^3 + bc^2 - ab^2 - b^2c - abc \\ &\hphantom{{}={}} + a^2c + b^2c + c^3 - abc - bc^2 - ac^2 \\ &= a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \end{align}$

特定の文字の三次式とみなす方法

$b, c$ を定数とみなして、 $a$ に関する三次式と思って因数分解する方法です。因数定理と多項式の割り算を使います。
式を見やすくするために $a$ を $x$ に置き換えてみます。

$\begin{align} &\phantom{{}={}} x^3 + b^3 + c^3 - 3 x b c \\ &= x^3 - 3 b c x + (b + c)(b^2 - bc + c^2) \end{align}$
定数項が $(b + c)$ を因数に持つので, $x = - (b + c)$ 辺りを代入すると $=0$ にならないかな〜と予想して代入してみます。

$\begin{align} &\phantom{{}={}} -(b + c)^3 + 3 b c (b + c) - (b + c)(b^2 - bc + c^2) \\ &= (b + c) \{ - (b + c)^2 + 3 b c - (b^2 - bc + c^2) \} \\ &= 0 \end{align}$
目論見が当たりました。ということで因数定理より $x + b + c$ を因数に持ちます。そこで割り算を実行すると
$\begin{align} &\phantom{{}={}} x^3 - 3 b c x + (b + c)(b^2 - bc + c^2) \\ &= (x + b + c) \{ x^2 - (b + c) x + (b^2 - bc + c^2) \} \\ &= (x + b + c)(x^2 + b^2 + c^2 - xb - bc - cx) \end{align}$
となります。 $x$ は見やすさのために $a$ と置き換えたものですので、最後の式は求めたかった因数分解の式です。

解と係数の関係を用いる方法

唐突ですが、多項式 $f(x)$ を以下で定義します。

$\begin{align} f(x) &= (x - a)(x - b)(x - c) \\ &= x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x - abc \end{align}$
定義から $f(a)=f(b)=f(c)=0$ が成り立ちます。つまり
$\begin{alignat}{4} a^3 &- (a+b+c)a^2 &&+ (ab+bc+ca)a &&- abc &&= 0 \\ b^3 &- (a+b+c)b^2 &&+ (ab+bc+ca)b &&- abc &&= 0 \\ c^3 &- (a+b+c)c^2 &&+ (ab+bc+ca)c &&- abc &&= 0 \end{alignat}$
となります。これらを足し合わせると
$\begin{align} &(a^3 + b^3 + c^3) - (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \\ &\qquad + (ab+bc+ca)(a+b+c) - 3abc \\ &= 0 \end{align}$
となるので、整理すれば
$\begin{align} &\phantom{{}={}} a^3+b^3+c^3-3abc \\ &= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \end{align}$
が得られます。

行列式を用いる方法

次の行列式を二通りの方法で求めます。

$\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{vmatrix}$
まずサラスの方法を用いると
$\Delta = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$
となります。次に行基本変形を駆使して行列式の値を求めてみます。
$\begin{eqnarray} \Delta &=& \begin{vmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{vmatrix} \\ &\overset{第2,3行を}{\underset{第1行に足す}{=}}& \begin{vmatrix} a + b + c & a + b + c & a + b + c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{vmatrix} \\ &\overset{第1行から}{\underset{くくり出す}{=}}& (a + b + c) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ c & a & b \\ b & c & a \end{vmatrix} \\ &\overset{第1行で}{\underset{余因子展開}{=}}& (a + b + c)\{ (a^2 - bc) - (ca - b^2) + (c^2 - ab) \} \\ &=& (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) \end{eqnarray}$
二通りの値が等しいことから、因数分解の公式が導出できました。

二変数の因数分解を繰り返す方法 (@dskr_kei さんによる)

二変数の展開の公式

$(a + b)^3 = a^3 + 3 a^2 b + 3 ab^2 + b^3$
を用いると
$\begin{align} &\phantom{{}={}} a^3 + b^3 + c^3 - 3 abc \\ &= (a + b)^3 - 3 a^2 b - 3 ab^2 + c^3 - 3 abc \\ &= (a + b)^3 + c^3 - 3 ab (a + b + c) \\ \end{align}$
が得られます。さらに最初の二項は
$\begin{align} &\phantom{{}={}} (a + b)^3 + c^3 \\ &= \{ (a + b) + c \} \{ (a + b)^2 - (a + b) c + c^2 \} \\ &= (a + b + c) (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - bc - ca) \end{align}$
となるので、結局
$\begin{align} &\phantom{{}={}} a^3 + b^3 + c^3 - 3 abc \\ &= (a + b + c)\{ (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - bc - ca) - 3ab \} \\ &= (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) \end{align}$
が得られます。