https://smooth-pudding.hatenablog.com/entry/2020/08/22/001233

先日、以下の動画を見ました。

ぷりんは思いました。

「そんな雑な計算で満足すんの？？」

ということで、真面目に追試してみます。

問題の条件

通常のシャトルランのルールは以下のサイトにまとまっていたので、この記事では詳細は割愛します。

www.health-net.or.jp

音源は youtube で簡単に聞くことができます。例えば↓

ルールの重要な部分だけまとめると、以下の通りです。

平行線の間隔は20m
所定の法則に則って決められた時間内に一方の直線から他方に移動することを繰り返す
二回連続でラインを踏めなければアウト

これらのルールに則った上で

法則を適当に外挿し、仮想的にいくらでもシャトルランが続く状況を作る
平行線の間は光速 $c=299792458 \mathrm{m/s}$ で移動できるものとする
方向転換の時間は無視する

の条件で

最大レベル
最後に平行線に到達した時点までの累計移動回数
同累計移動距離
同累計移動時間

をなるべく正確に計算したいと思います。

条件の整理

公式？では247回までの折り返し回数を想定しており、具体的に間隔が与えられています。以下は wikipedia に掲載されていた法則を抜粋したものです。

レベル	折り返し回数	速度 (km/h)	折り返し時間 (秒)	レベル内合計時間(秒)
1	7	8	9	63
2	8	9	8	64
3	8	9.5	7.58	60.63
4	9	10	7.2	64.8
5	9	10.5	6.86	61.71
6	10	11	6.55	65.5
7	10	11.5	6.26	62.61
8	11	12	6	66
9	11	12.5	5.76	63.36
10	11	13	5.54	60.92
11	12	13.5	5.33	64
12	12	14	5.14	61.71
13	13	14.5	4.97	64.55
14	13	15	4.8	62.4
15	13	15.5	4.65	60.39
16	14	16	4.5	63
17	14	16.5	4.36	61.09
18	15	17	4.24	63.53
19	15	17.5	4.11	61.71
20	16	18	4	64
21	16	18.5	3.89	62.27

この表から法則性を見出し、高いレベルまで外挿します。
じっと眺めると、折り返し時間 $t$ (秒) とレベル内合計時間 $T$ (秒) の間に

$60 < T \leq 60 + t$

の関係があることが分かります。また速度 $v$ (km/h) とレベル $\ell$ の間には

$v= \begin{cases} 8 & (\ell = 1) \\ 8+\dfrac{\ell}{2} & (\ell \geq 2) \end{cases}$

の関係があることが分かります。また当然成り立つ関係式として、折り返し回数を $n$ として

$t = \dfrac{20}{v \div 3.6}, \quad T = nt$

も使えます。以上の関係式から $\ell \geq 2$ のとき $n$ が満たす不等式は

$\dfrac{80 + 5\ell}{12} < n \leq \dfrac{92 + 5\ell}{12}$

となります。 $n$ が自然数であることから

$n = \left\lfloor \dfrac{92 + 5\ell}{12} \right\rfloor \quad (\ell \geq 2)$

となります。これより $T$ を $\ell$ で表すこともできて

$T = \dfrac{144}{16 + \ell} \left\lfloor \dfrac{92 + 5\ell}{12} \right\rfloor \quad (\ell \geq 2)$

となります。

最大レベル

光速を $c=299792458$ (m/s)とすれば、ギリギリ光速を超えないレベル $L$ は

$8 + \dfrac{L}{2} \leq c \times 3.6 < 8 + \dfrac{L + 1}{2}$

となるので

$L \leq 7.2 c - 16 < L + 1$

を満たします。よって

$L = \left\lfloor 7.2 c - 16 \right\rfloor = 2158505681 \quad \text{(21億5850万5681)}$

となります。

累計移動回数

累計移動回数 $N$ は

$\displaystyle N = 7 + \sum_{\ell=2}^{L} \left\lfloor \dfrac{92 + 5\ell}{12} \right\rfloor$

と表されます。 $\ell+4$ を $12$ で割ったときの商を $x$ あまりを $y$ とすると

$\displaystyle \dfrac{92 + 5\ell}{12} = 5x + 6 + \dfrac{5y}{12}$

となるので

$\displaystyle \left\lfloor \dfrac{92 + 5\ell}{12} \right\rfloor = 5x + 6 + \left\lfloor \dfrac{5y}{12} \right\rfloor$

となります。 $\lfloor \cdot \rfloor$ の部分の1サイクル分の和を計算すると

$\begin{aligned} \sum_{y=0}^{11} \left\lfloor \dfrac{5y}{12} \right\rfloor &= \dfrac{1}{2} \cdot 2 \sum_{y=1}^{11} \left\lfloor \dfrac{5y}{12} \right\rfloor \\ &= \dfrac{1}{2} \sum_{y=1}^{11} \left\{ \left\lfloor \dfrac{5y}{12} \right\rfloor + \left\lfloor \dfrac{5(12-y)}{12} \right\rfloor \right\} \\ &= \dfrac{1}{2} \left[ - 11 + \sum_{y=1}^{11} \left\{ \dfrac{5y}{12} + \dfrac{5(12-y)}{12} \right\} \right] \\ &\quad \text{($-11$ は小数部分による欠損分)} \\ &=22 \end{aligned}$

となります。 $(x, y)$ を $\ell$ が小さい順に並べると

$\displaystyle (0, 6), (0, 7), \dots, (0, 11), (1, 0), \dots, (179875473, 9)$

となります。 $X=179875473$ とおけば

$\begin{aligned} N &= 7 + \sum_{\ell=2}^{L} \left\lfloor \dfrac{92 + 5\ell}{12} \right\rfloor \\ &= 7 + 12 \sum_{x=1}^{X-1} 5 x + 10 \cdot 5 X + 6 (L - 1) + X \cdot 22 + \sum_{y=6}^{9} \left\lfloor \dfrac{5y}{12} \right\rfloor \\ &= 7 + 30 X (X-1) + 50 X + 6 (L - 1) + 22 X + 10 \\ &= 970655594115015833 \\ &\hphantom{{}={}} \text{(97京655兆5941億1501万5833)} \end{aligned}$

となります。ちなみに $\ell$ が大きいところが和に影響すると考えて

$\displaystyle N \sim \sum_{\ell=1}^{L} \dfrac{5 \ell}{12} \sim \dfrac{5 L^{2}}{24} = 970655578106098700 + \dfrac{5}{24}$

としても概ね近い値が出ます。(7桁一致)

累計移動距離

累計移動距離は

$\displaystyle 20N=19413111882300316660 \mathrm{[m]}$

になります。これは約 $2053.373$ 光年です。

累計移動時間

もはや厳密に計算するのが厳しいため、近似計算を行います。 $\ell$ が大きい近似を行うと

$T \sim 12 \cdot \dfrac{5 + 92 \ell^{-1}}{1 + 16 \ell^{-1}} \sim 12 (5 + 92 \ell^{-1}) (1 - 16 \ell^{-1}) \sim 60 + 144 \ell^{-1}$

となります。これを $\ell$ について $1\sim L$ の範囲で和を取りますが、ここで

$\displaystyle \begin{gathered} \sum_{k=1}^{K} \dfrac{1}{k} \sim \log K + \gamma + \mathcal{O}(K^{-1}) \\ \gamma = 0.577215664901532860606512090082\dots \end{gathered}$

を用いれば

$\displaystyle \begin{aligned} \sum_{\ell=1}^{L} T &\sim 60 L + 144 \log L + 144 \gamma \\ &= 129510344038.065\dots \text{(秒)} \end{aligned}$

となります。これは約 $4106.746$ 年に相当します。

[追記: 2020/08/22]
プログラムを組んで計算してみたところ

$\displaystyle 129510342313.7983240214824584$

となりました(単位は秒)。浮動小数点の計算が入っているので、一定程度数値誤差は入っています。8桁は合っていたようです。

結果

以上をまとめると次のようになります。

最大レベル

21億5850万5681

累計移動回数

97京655兆5941億1501万5833回

同累計移動距離

1941京3111兆8823億0031万6660m (約2053.373光年)

同累計移動時間

約4106.746年
[追記: 2020/08/22]
129510342313.7983240214824584秒(若干の誤差含む)

いやはや、光ってすごいですね。

追記(2020/08/22): 累計移動時間の計算プログラム

以下の Julia のコードで計算しました。

mutable struct LongFloat
    seisu::Int
    shosu::Float64
end

function Base.show(io::IO, x::LongFloat)
  s_seisu = string(x.seisu)
  s_shosu = string(x.shosu)
  print(io, s_seisu, " + ", s_shosu)
end

function simplify!(x::LongFloat)
    if x.shosu < 0 || x.shosu >= 1
        n = floor(Int, x.shosu)
	x.seisu += n
	x.shosu -= n
    end
end

function num(level::Int)::Int
    if level==1
        return 7
    else
        return div(92 + 5*level, 12)
    end
end

function time!(level::Int, cum_time::LongFloat)
    if level==1
        cum_time.seisu += 63
    else
	numer = num(level) * 144
	denom = 16 + level
	add_sei = div(numer, denom)
	add_sho = (numer % denom) / denom
	cum_time.seisu += add_sei
	cum_time.shosu += add_sho
	simplify!(cum_time)
    end
end

function main()
    LMAX = 2158505681
    all_time = LongFloat(0, 0.)

    for level = 1:LMAX
        time!(level, all_time)
    end

    println(all_time)
end

main()