以下の内容はhttps://smooth-pudding.hatenablog.com/entry/2019/12/28/144811より取得しました。

【挑戦状】問31 想定解答.

すむーずぷりんからの挑戦状

今回は整数の問題です。

問31. 334 は十進法では平方数でない. では N 進法で 334 が平方数であるような 5 以上の自然数 N は存在するか？

想定解答は↓https://t.co/P9BrKFDnI9
— すむーずぷりんちゃん🍮【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 2019年12月28日

フォロワーさんのつぶやきを見て作問しました。思い付きにしてはいい問題かなと思っています。
以下に解答を書きます。

想定解答.
自然数 $N \geqq 5$ に対して

$X = 3 N^{2} + 3 N + 4 = 3 N (N + 1) + 4$

とおく. $N, N + 1$ の少なくとも一方は偶数であり, $4$ は偶数なので, $X$ も偶数である. $X$ が平方数ならば, $X$ は $4$ の倍数である. よって $3 N(N + 1)$ も $4$ の倍数なので, $N$ または $N + 1$ は $4$ の倍数である必要がある. そのような $N$ を列挙すると

$N = 7, 8, 11, 12, 15, 16, \dots$

となる. $N = 7$ のときは (十進法で)

$X = 3 \cdot 7 \cdot 8 + 4 = 4 \cdot (3 \cdot 7 \cdot 2 + 1) = 4 \cdot 43$

となり, $X$ は平方数でない. $N = 8$ のときは (十進法で)

$X = 3 \cdot 8 \cdot 9 + 4 = 4 \cdot (3 \cdot 2 \cdot 9 + 1) = 4 \cdot 55$

となり, $X$ は平方数でない. $N = 11$ のときは (十進法で)

$X = 3 \cdot 11 \cdot 12 + 4 = 4 \cdot (3 \cdot 11 \cdot 3 + 1) = 4 \cdot 100 = 20^{2}$

となり, $X$ は平方数となる.
以上から, $N$ 進法で $334$ が平方数となるような自然数 $N \geqq 5$ は存在する. □

ちなみに, $N = 11$ 以外では $N = 63,$ $160,$ $884,$ $2235,$ $12319,$ $31136, \dots$ が条件を満たします。

以上の内容はhttps://smooth-pudding.hatenablog.com/entry/2019/12/28/144811より取得しました。
このページはhttp://font.textar.tv/のウェブフォントを使用してます

不具合報告/要望等はこちらへお願いします。
モバイルやる夫Viewer Ver0.14