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【挑戦状】問17 想定解答.

すむーずぷりんからの挑戦状

図形と整数の複合問題です。

【すむーずぷりんからの挑戦状】
問17. 各辺の長さが高々2個の素数の積で表されるような直角三角形をすべて求めよ.

想定解答は↓https://t.co/KWO7hNOVa5
— すむーずぷりんちゃん🍮【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 2019年12月14日

素数を絡めると簡単に整数問題が作れるのでいいですね。
以下に解答を書きます。

想定解答.
斜辺の長さを $z$ , 他の二辺の長さを $x, y$ とおく. 三平方の定理より

$x^{2} + y^{2} = z^{2}$

である. $z^{2} \equiv 0, 1 \pmod{4}$ なので, $x, y$ の少なくとも一方は偶数である. $x, y$ は対称なので, $y$ が偶数と仮定してよい. さて

$y^{2} = (z - x) (z + x)$

であるが, $y$ が偶数で, $z - x, z + x$ の偶奇は一致するので, $z - x, z + x$ は共に偶数である. さらに $0 < z - x < z + x$ なので

$y^{2} \geqq 2 \cdot 4 = 8 > 4$

となる. よって $y > 2$ である. すなわち $y$ は $1$ でも素数でもないので, $y = 2 p$ ( $p$ は素数) とおける. よって

$4 p^{2} = (z - x) (z + x) \iff p^{2} = \dfrac{z - x}{2} \cdot \dfrac{z + x}{2}$

となる. $\dfrac{z - x}{2}, \dfrac{z + x}{2}$ は整数であり, $0 < \dfrac{z - x}{2} < \dfrac{z + x}{2}$ が成り立つので

$\dfrac{z - x}{2} = 1, \quad \dfrac{z + x}{2} = p^{2}$

が従う. $p = 2$ のときは $(x, z) = (3, 5)$ となり, 条件を満たす. $p \geqq 3$ の場合を考える.

$x = p^{2} - 1 = (p - 1) (p + 1)$

となり, $p - 1, p + 1$ は共に偶数なので, $x$ は $4$ の倍数である. $x$ は高々2つの素数の積で表されるので, $x = 4$ である. これは $x = p^{2} - 1 \geqq 3^{2} - 1 = 8$ に反する.
以上より条件を満たすのは, 各辺の長さが $3, 4, 5$ となる三角形のみである. □

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