https://smooth-pudding.hatenablog.com/entry/2019/12/11/152917

今回は空間図形の問題です。

【すむーずぷりんからの挑戦状】
問15. 点 O を中心とする半径 1 の球面 S がある. 四角形 ABCD の各頂点は S 上にあり, 2つの対角線は O で交わるとする. 点 P が S 上を動くとき, AP+BP+CP+DP の最大値を求めよ.

想定解答は↓https://t.co/dyqHiabTcz
— すむーずぷりんちゃん🍮【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 2019年12月11日

かなり対称性が高いので、もしかしたらいろいろ別解があるかもしれません。
以下に解答を書きます。

想定解答.
三角形 $\mathrm{APC}$ を含む円を考えると, 線分 $\mathrm{AC}$ は直径になるので, 円周角の定理より $\angle \mathrm{APC} = 90^{\circ}$ である. よって三平方の定理より $\mathrm{AP}^{2} + \mathrm{CP}^{2} = \mathrm{AC}^{2} = 4$ である. 三角形 $\mathrm{BPD}$ に対しても同様の議論を行うことにより, $\mathrm{BP}^{2} + \mathrm{DP}^{2} = 4$ と分かる. よって Cauchy-Schwarz の不等式より

$\begin{align} & \hphantom{{}={}} \mathrm{AP} + \mathrm{BP} + \mathrm{CP} + \mathrm{DP} \\ &= 1 \cdot \mathrm{AP} + 1 \cdot \mathrm{BP} + 1 \cdot \mathrm{CP} + 1 \cdot \mathrm{DP} \\ &\leqq \sqrt{ (1^{2} + 1^{2} + 1^{2} + 1^{2}) \cdot (\mathrm{AP}^{2} + \mathrm{BP}^{2} + \mathrm{CP}^{2} + \mathrm{DP}^{2}) } \\ &= \sqrt{ 4 \cdot (4 + 4) } \\ &= 4 \sqrt{2} \end{align}$

となる. 一方, 点 $\mathrm{P}$ が四角形 $\mathrm{ABCD}$ に垂直かつ点 $\mathrm{O}$ を通る直線と $S$ の交点と一致するとき, 三角形 $\mathrm{APC}$ は $\mathrm{AP} = \mathrm{CP}$ の直角二等辺三角形なので, $\mathrm{AP} = \mathrm{CP} = \dfrac{\mathrm{AC}}{ \sqrt{2} } = \sqrt{2}$ である. 三角形 $\mathrm{BPD}$ に対しても同様に考えることで, $\mathrm{BP} = \mathrm{DP} = \sqrt{2}$ と分かる. したがってこのとき $\mathrm{AP} + \mathrm{BP} + \mathrm{CP} + \mathrm{DP} = 4 \sqrt{2}$ となる. したがって $\mathrm{AP} + \mathrm{BP} + \mathrm{CP} + \mathrm{DP}$ の最大値は $4 \sqrt{2}$ . □