https://smooth-pudding.hatenablog.com/entry/2019/12/10/150239

微積の問題です。

【すむーずぷりんからの挑戦状】
問14. f(x)=ax + e^{-x²} が単調増加, すなわち
x < y ⇒ f(x) < f(y)
となるような定数 a の範囲を求めよ.

想定解答は↓https://t.co/JfBdHuizEZ
— すむーずぷりんちゃん🍮 (@mat_der_D) 2019年12月10日

基本的な議論を組み合わせるだけなので、ぜひ正解してください。
以下に解答を書きます。

想定解答.
$f(x) = a x + e^{- x^{2}}$ が単調増加であるためには

$f'(x) = a - 2 x e^{- x^{2}} \geqq 0$

が任意の $x$ で成立することが必要である. $g(x) = 2 x e^{- x^{2}}$ とおくと

$g'(x) = 2 e^{- x^{2}} - 4 x^{2} e^{- x^{2}} = 2 (1 - 2 x^{2}) e^{- x^{2}}$

となる. よって $g(x)$ は $x \leqq - \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ で単調減少, $- \dfrac{1}{\sqrt{2}} \leqq x \leqq \dfrac{1}{ \sqrt{2} }$ で単調増加, $\dfrac{1}{ \sqrt{2} } \leqq x$ で単調減少である. $\lim\limits_{x \to - \infty} g(x) = 0$ なので, $g(x)$ の最大値は $g \left( \dfrac{1}{ \sqrt{2} } \right) = \sqrt{ \dfrac{ 2 }{ e } }$ である. したがって任意の $x$ に対して $a - g(x) \geqq 0$ が成り立つ $a$ の範囲は $a \geqq \sqrt{ \dfrac{ 2 }{ e } }$ である.
逆にこのとき $x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 以外では常に $f'(x)>0$ が成り立つので, $f(x)$ が単調増加であることがわかる. □