https://smooth-pudding.hatenablog.com/entry/2019/12/09/212250

整数の問題です。

【すむーずぷりんからの挑戦状】
問13. p+2q, q+2r, r+2p, p+q+r がいずれも素数となるような素数の組 (p, q, r) は存在しないことを示せ.

想定解答は↓https://t.co/v4Okyctosx
— すむーずぷりんちゃん🍮 (@mat_der_D) 2019年12月9日

作った側としては簡単な感じがしますが、いかがでしょうか。
いつもの通り、解答を以下に書きます。

想定解答.
$p + 2 q, q + 2 r, r + 2 p, p + q + r$ がすべて素数となるような素数の組 $(p, q, r)$ が存在すると仮定する. $p, q, r$ をそれぞれ $3$ で割ったあまりが互いに異なるとすると, $p + q + r$ は $3$ の倍数であり, $p + q + r$ が素数であることから $p + q + r = 3$ である. 一方 $p, q, r$ はいずれも素数であることから $p + q + r \geqq 2 + 2 + 2 = 6$ であり, 矛盾する. よって $p, q, r$ をそれぞれ $3$ で割ったあまりのうち, いずれか $2$ つは一致しなければならない.
$p, q$ をそれぞれ $3$ で割ったあまりが等しい場合, $p + 2 q = p - q + 3 q$ より $p + 2 q$ は $3$ の倍数であり, $p + 2 q$ は素数であることから $p + 2 q = 3$ である. 一方 $p, q$ は素数であることから $p + 2 q \geqq 2 + 2 \cdot 2 = 6$ であり, 矛盾する. 同様に $q, r$ をそれぞれ $3$ で割ったあまりが一致する場合, $r, p$ をそれぞれ $3$ で割ったあまりが一致する場合も矛盾が導かれる. □