https://shota-cube.hatenablog.com/entry/2025/12/04/000000

※この記事はSpeedcubing Advent Calendar 2025の4日目の記事です。
昨日はうえしゅうさんによる自分のFMCの取り組み方 2025年版でした。
明日はRiuさんによるCommutatorは、怖くないです。

※この記事はFMC同値変形学入門1の続きです。まずそちらを読んでからこの記事を読んだ方が理解しやすいと思われますが、一応この記事単体でも読めるように尽くした所存です。

※これらの記事では便宜上「定理」という言葉を度々用いますが、あくまでFMCer諸君へ分かり易く実用的なテクニックを紹介するための記事であるという都合上数学的な厳密性は無く、記事内での定理の証明も与えません。「定義」という言葉も同様にwell-defined性を求めていないのでご容赦願います。

0. はじめに

この記事では、U/D軸のDR-sequence内に90°の E 回転を2つインサートするQSI (Quarter Slice Insertion)、及び180°の E 回転を3つインサートするTSI (Triple Slice Insertion) について解説する。

前回解説したHSIとこれらを合わせることで、EDH (EO→DR→HTR) を用いた解答にスライスインサートのみを施して得られる最適解のうちの多く (※筆者の主観) を理解することができるようになる。

注意

手順や回転記号A, Bについて、「AとBの積」や「A × B」という表現をすることがあるが、これらはいずれも「Aという手順を回した後に続けてBという手順を回す手順」すなわち「A B」のことを指す。また、「×」の代わりに「+」を用いることもあるが、意味は「×」と同じと思ってよい。
この記事で使われる () という記号にインバースの意はなく、単なるひと括りを表す。
この記事では練習問題を除き、DRの軸をU/D軸で固定して説明する。つまり、この記事で単にDR-sequenceといえば「任意の数・任意の順序のU, D, F2, B2, R2, L2の積で表される手順(及びそれ全体の集合)」ということになる。
式内の X2 はDR軸を除く2軸のうちある一方の軸を回転軸とする回転を表し、Y2 はもう一方の軸を回転軸とする回転を表す。
(例1: (X2)² = X2 X2 = R2 R2 又は R2 L2 又は L2 R2 又は L2 L2 又は F2 F2 又は F2 B2 又は B2 F2 又は B2 B2)
(例2: X2 Y2 = R2 F2 又は R2 B2 又は L2 F2 又は L2 B2 又は F2 R2 又は F2 L2 又は B2 R2 又は B2 L2)

1.センターインサートについて

この記事で解説するQSIとTSIは、どちらもセンターインサートに関するテクニックである。そのため、まずはじめにセンターインサートの基礎知識について述べておく。

センターのみを移動させる手順（例: E M2 E' M2）をインサートすることをセンターインサートと言う。複数の手順をインサートして最終的にセンターのみの移動を起こす場合もここではセンターインサートと呼ぶ。EDHでは通常 U↔D & F↔B のような対面2点交換×2のセンターインサートしか用いられず、試技の解説コメントなどでは「4x」と表記する*1。当記事では移動が起こっているセンターの属する層を明記して「4Ex」「4Mx」のように表すことにする。また、何も交換しない手順を便宜上「0x」とする。
センターインサートはセンターしか動かさないため、センターを動かさない通常の手順とは可換であり、スケルトン内のどこにインサートしても効果は同じである。

センター交換手順同士の関係は以下の通りである。*2

$\begin{cases} \mathrm{4Ex + 4Ex = 4Mx + 4Mx = 4Sx + 4Sx = 0x}\\ \mathrm{4Ex + 4Mx = 4Mx + 4Ex = 4Sx} \\ \mathrm{4Mx + 4Sx = 4Sx + 4Mx = 4Ex} \\ \mathrm{4Sx + 4Ex = 4Ex + 4Sx = 4Mx} \end{cases}$

この関係式から、複数の4x手順をインサートして元の状態に戻すには、4Ex・4Mx・4Sxをそれぞれ偶数回ずつインサートする、あるいはそれぞれ奇数回ずつインサートする必要があり、逆にそうすれば必ずセンターは元の状態に戻ることが導かれる。

2. QSI

QSIを理解するにあたって、前回定義したID-sequenceを、I-sequenceとD-sequenceの2つに分けて定義し直す。
まずはID-sequenceの定義の復習から。前回から表現を改めたが、内容は同じである。

定義2.1 (ID-sequence)(再掲)

あるDR-sequenceについて、UとDを無視したとき以下の形になっているものを基本ID-sequenceとする。*3

$\mathrm{基本ID}=\mathrm{X2} \times (\mathrm{Y2})^ n \times \mathrm{X2}$

そして基本ID-sequenceはID-sequenceに含まれるものとし、ID-sequenceとID-sequenceの積で表される全ての手順をID-sequenceとする。

$\mathrm{ID}=\begin{cases}\mathrm{基本ID} \\ \mathrm{ID} \times \mathrm{ID} \end{cases}$

※nは0以上の整数

これを踏まえ、I-sequenceとD-sequenceを以下のように定義する。

定義2.2 (I-sequence, D-sequence)

ある基本ID-sequenceについて、UとDを無視したとき
(1)その手数が偶数か奇数か
(2)その1手目と最終手の回転面が同じか異なるか
の2つの条件の組み合わせによって、それぞれ基本I-sequenceか基本D-sequenceのいずれかに分類される。分類の仕方は以下の表の通り。

(1) \ (2)	同	異
偶	I	D
奇	D	I

そして基本I-sequenceはI-sequenceに、基本D-sequenceはD-sequenceにそれぞれ含まれるものとし、2つのI-sequence同士の積あるいはD-sequence同士の積で表される手順はI-sequence、I-sequenceとD-sequenceの積で表される手順はD-sequenceになるものとする。

$\mathrm{I}=\begin{cases}\mathrm{基本I} \\ \mathrm{I} \times \mathrm{I}　\\ \mathrm{D} \times \mathrm{D} \end{cases}$

$\mathrm{D}=\begin{cases}\mathrm{基本D} \\ \mathrm{I} \times \mathrm{D}　\\ \mathrm{D} \times \mathrm{I} \end{cases}$

言い換えるとつまり、あるID-sequenceを複数の基本I-sequenceと基本D-sequenceのみの積で表したとき、その中に含まれる基本D-sequenceの数が偶数個ならI-sequence、奇数個ならD-sequenceということでもある。

基本I-sequenceの例
・R2 R2
・F2 R2 B2

基本D-sequenceの例
・R2 L2
・F2 R2 F2

I-sequenceの例
・U2 B2 U2 R2 B2 L2 R2 D2

D-sequenceの例
・U F2 R2 L2 U' B2 R2 U2 R2

I-sequenceには（センターやエッジの向きを無視し、キューブを真上から見たとき）E層の4つのエッジの並び順を変化させないという性質があり、D-sequenceは逆にその並び順を逆順にするという性質がある。
この性質により、次の定理が成り立つ。

定理2 (QSI)

任意のDR-sequence: A, Bについて
AがI-sequenceである ⇔ A = E A E' = E' A E
BがD-sequenceである ⇔ B +4Ex = E B E = E' B E'

このような E や E' のインサートを、90°回転のスライスインサートであることからQSI (Quarter Slice Insertion) と呼ぶ。

例2.1

U D2 R2 F2 R2 U F2 B2 D // Solved (9)

U D2 があるので、ここに E' か E2 をインサートして手数を減らすことを考える。
まずHSIを試みると、他に U2 も D2 もないので手数を減らせないことがすぐに分かる。
続いてQSI。最初の U D2 の直後から見ていくと、まず R2 F2 R2 がD-sequence、続いて F2 B2 もD-sequenceになっている。従って R2 F2 R2 U F2 B2 は2つのD-sequenceの積であるためI-sequenceなので、この前後に E' と E をインサートすることで同値変形できる。E と D はキャンセルが起きて+0手なので、合計で1手の削減になる。

解答例

U D2 R2 F2 R2 U F2 B2 D
= U D2 [E'] R2 F2 R2 U F2 B2 [E] D
= D' B2 R2 B2 U R2 L2 U // Solved (8)

例2.2

scramble: R' U' F D2 L' B' R' F U L2 B D B U2 L D' L2 B2 L B2 D R' U' F

U F B // EO (3)
R D F2 L2 U2 R D2 R // DR (11)
B2 U F2 U L2 D' // HTR (17)
B2 x2 // 4Mx (18)

このようにHTR後などにセンタースケルトンを作成した場合は、R/L軸のD-sequenceにQSIをすることで少ない手数でセンターインサートをできる場合がある。
今回はDR完成前の F2 L2 U2 R D2 R がR/L軸のDR-sequenceになっているので、ここに着目すると、L2 U2 R D2 R が(R/L軸の)D-sequenceであることが分かる。従って、この前後に M' をインサートすればセンターインサートが完了する。

解答例

U F B // EO (3)
R D F2 # L2 U2 R D2 R # // DR (11)
B2 U F2 U L2 D' // HTR (17)
B2 x2 // 4Mx (18)

# = M' // Solved (+1/19)

∴ U F B R D F2 R' L' F2 R B2 L F2 D B2 D L2 U' F2 (19 moves)

3. TSI

TSI (Triple Slice Insertion) とは、定理3.1に従って E2 を3回インサートすることで行うセンターインサートのことである。

定理3.1 (TSI一般形)

任意のDR-sequence: A, Bについて
A も B も A B もID-sequenceでない ⇔ A B +4Ex = E2 A E2 B E2

例によって証明は省く*4が、仮にA, B, A B のいずれかがID-sequenceならば3つの E2 のうちの2つがHSIとして"相殺"されてしまい、実質 E2 1個分のインサート(つまり4xではなく2e2e4x)になってしまうことは明らかだろう。

例3.1

scramble: U2 F2 D2 R2 D2

U2 L2 U2 F2 D2 y2 // 4Ex (5)

L2, F2, L2 F2 はいずれもID-sequenceではないので、TSIによってE層のセンターインサートが成立する。

解答例

U2 [E2] L2 U2 [E2] F2 [E2] D2 y2
= D2 R2 D2 F2 U2 // Solved (5)

このように+0手のセンターインサートの可否を調べるのは容易だが、+0手が不可能で自分でインサートする場所を選ばないといけない場合、定理3.1をそのまま使うのは難しい。独立でない3つのDR-sequenceが同時にID-sequenceでなくなる3か所を選ばなければならないからだ。
そこで、TSIの中で最も汎用的な「型」を紹介する。この型に当てはめて無理やり+2手や+4手のTSIをし、そこから更にHSIで無駄な E2 を相殺することで最適なTSIを得ることができる。

定理3.2 (TSI汎用型)

あるDR-sequence: A, B (のUとDを無視したもの)が
A = $\mathrm{X2(Y2)}^n$ , かつ B = $\mathrm{(X2)}^m \mathrm{(Y2)}$
を満たすとき,
A B +4Ex = E2 A E2 B E2

※n, mは0以上の整数
※AのX2とBのX2は同じ軸

このような条件を満たすA, Bは A も B も A B もID-sequenceではない (※ B A はID-sequenceになる可能性があるので注意！) ため、定理3.1のTSIが可能である。例3.1にあげたTSIもこの型の n = m = 0 の場合に他ならない。
他にも幾つか例を示す。

例3.2

scramble: D2 B2 L2 D2 R2 U2 B2 L2 D

D // HTR (1)
U2 R2 F2 D2 R2 D2 L2 B2 U2 y2 // 4Ex (10)

このような状態になった場合、U2 y2 ではなく D2 してVRスキップのLSとして解くのが一般的だが、TSIでも揃えることができる。UもDも含まれない連続した動きは R2 F2, R2, L2 B2 の三つあり、そのうち
A = R2, B = L2 B2
の部分が「型」に当てはまっている。

D U2 R2 F2 D2 # R2 # D2 L2 B2 # U2 y2
# = E2 // Solved

この例では更に下線で示した部分がID-sequenceになっており*5、HSIを加えることで1手の削減が可能だ。

解答例

D U2 # R2 F2 D2 # R2 # # D2 L2 B2 # U2 y2
# = E2 // Solved

∴ D' L2 B2 U2 R2 D2 L2 B2 D2 (9)

例3.3

R2 F2 U2 L2 B2 F2 U2 R2 F2 U2 // Solved (10)

HTR後の解答に F2 B2 が残っているのでスライスインサートで手数が減らせそうだ。まずHSIを試みたいが、他のどちらの F2 との間隙もID-sequenceではないので手数を減らすことはできない。そこでTSIを考えると U2 L2 = A, U2 R2 = B としてちょうど「型」の形になっていることが分かる。

R2 F2 U2 L2 B2 F2 U2 R2 F2 U2
= R2 F2 [S2] U2 L2 B2 [S2] F2 U2 R2 [S2] F2 U2 +4Sx
= R2 B2 D2 R2 U2 R2 B2 D2 z2 +4Sx

このままでは4Sxが残ってしまい、S層のQSIでも手数が増えてしまうので手詰まりのように思えるかもしれないが、ここで第1章で述べた関係式
4Mx + 4Ex = 4Sx
が効果を発揮する。
つまり、ずれたS列のセンターを、M2 のTSIと E2 のTSIを行うことで直すことができるのだ。

実際、R/L軸もU/D軸も都合よく「型」の形になっており、それぞれ+0手でTSIを実行できることが分かる。

R2 B2 D2 R2 U2 R2 B2 D2 z2 +4Sx
= R2 [M2] B2 D2 [M2] R2 U2 [M2] R2 B2 D2 z2 +4Mx +4Sx
= L2 F2 U2 L2 U2 L2 F2 U2 x2 z2 +4Ex
= L2 F2 U2 [E2] L2 [E2] U2 L2 F2 [E2] U2 x2 z2 +4Ex +4Ex
= L2 F2 D2 R2 D2 L2 F2 D2 y2 x2 z2
= L2 F2 D2 R2 D2 L2 F2 D2

まとめると、以下のようになる。
※記号「* = w」は、「*」の直前の回転記号を2層回しにする、という意味である。

解答例

R2* F2* U2* L2* B2* F2 U2* R2* F2* U2* // Solved (10)
* = w // Finish (-2/8)

∴ L2 F2 D2 R2 D2 L2 F2 D2

同じ回転軸で「*」が付いている回転記号同士がその軸のID-sequenceを挟んでおらず、正しく全軸TSIになっていることを確認されたい。

4.練習問題

問題

与えられた手順または解答と全く同じ置換をもたらし、かつその手順より1手以上少ない手順を求めよ。ただし、(◯層無視)と書いてある問は、その層のエッジのみ変化させてもよいものとする。

(1) L2 F2 U2 L2 F2 B2 L2 F2 (E層無視)

(2) F B2 U2 F2 L2 F2 B2 U2 R2 L'

(3) R U2 L2 B2 U2 D2 L2 B2 U2 F2 (M層無視) (入門1の練習問題(3)より改題)

(4) U F // EO (2)
R B2 U D R' F2 D2 L // DR (8/10)
R2 U' // HTR (2/12)
L2 R2 B2 R2 U2 L2 R2 // Solved (7/19)

(5) F' // EO (1)
B2 U2 F2 L2 U2 L2 U' D2 L // DR (9/10)
D' B2 F2 L2 F2 L2 B2 D F2 D' // HTR (10/20)
R2 U2 R2 F2 D2 R2 B2 F2 L2 B2 F2 // Solved (11/31)

解答

(1) L2 F2 U2 L2 F2 B2 L2 F2
= L2 F2 [S2] U2 L2 F2 B2 [S2] L2 F2 [S2] +4Sx
= L2 B2 D2 R2 L2 B2 z2 +4Sx
= L2 [M2] B2 [M2] D2 [M2] R2 L2 B2 z2 +4Mx +4Sx
= R2 F2 R2 L2 D2 F2 x2 z2 +4Mx +4Sx
≒ R2 F2 R2 L2 D2 [E2] F2 x2 z2 +4Ex +4Mx +4Sx
= R2 F2 R2 L2 U2 B2 (-2手)

(2) F B2 U2 F2 L2 F2 B2 U2 R2 L'
= F B2 [S2] U2 F2 [S2] L2 [S2] F2 B2 U2 R2 L' +4Sx
= F' D2 B2 L2 D2 L2 R' z2 +4Sx
= F' [S'] D2 B2 L2 D2 [S'] L2 R' z2 +4Sx +4Sx
= B' L2 B2 U2 L2 F B' R2 L' (-1手)

(3) R U2 L2 B2 U2 D2 L2 B2 U2 F2
= R U2 [E2] L2 B2 [S2] U2 D2 [E2] L2 B2 [S2] U2 [E2] F2 [S2] +4Mx
= R D2 R2 B2 R2 F2 D2 F2 z2 +4Mx
≒ R R2 B2 R2 D2 F2 D2 F2 z2 +4Mx　(∵BF)
≒ R' B2 R2 [M2] D2 F2 D2 F2 z2
= R' B2 L2 U2 B2 U2 B2 (-3手)

(4) U F // EO (2)
R B2 U D R' # F2 # D2 # L // DR (8/10)
R2 U' // HTR (2/12)
L2 R2 $ B2 R2 $ U2 $ L2 R2 // Solved (7/19)
# = $ = M2 // Another solution (-2/17)

∴ U F R B2 U D R L2 B2 R2 L2 D2 L' D' B2 L2 D2 (-2手)

(5) F' // EO (1)
B2 [1] U2 [2] F2 [1] L2 [1] U2 [2] L2 [2] U' D2 L // DR (9/10)
D' [3] B2 F2 [4] L2 F2 L2 B2 [4] D F2 [3] D' // HTR (10/20)
R2 U2 R2 F2 [5] D2 R2 [5] B2 F2 L2 [5] B2 F2 // Solved (11/31)
[4] = S2 // 2nd solution (-2/29)
[1] = [5] = S2 // 3rd solution (-5/24)
[2] = E2, [3] = E' // Final solution (-1/23)

∴ F U2 F2 R2 F2 B2 U2 R2 D L D' F2 R2 F2 R2 U R2 D' L2 D2 L2 B2 D2 (-8手)

*1:「c」だとcornerと被ってしまうので避けたのだと思われるが、なぜ「x」が用いられているのかは不明。

*2:見ての通り任意の4x同士の積は可換である。この記事では4xを敢えて「＋」の記号を用いて表すが、あまり深い意味はない。

*3:前回は暗黙の了解としたが、ID-sequence全体の集合はDR-sequence全体の集合の部分集合であり、この定義内ではDR-sequenceの軸がU/D軸であることを前提としていたため、ID-sequenceにも当然「軸」の概念が存在する。例えばU2 F2 B2 はU/D軸のID-sequenceだがR/L軸やF/B軸のID-sequenceではない。

*4:「⇒」の証明の方針としては、VRでいうg,f,rのそれぞれが3つの E2 のどれか一つに必ず対応することを示せばよい。

*5:R2 F2 E2 R2 と途中に E2 が入っているが、E2 の有無で回転軸は変化しないので、ID-sequenceのままである。なお、回転面は変化するので、IとDのどちらになるかは展開してみないと分からない。実際、R2 F2 E2 R2 = R2 F2 U2 D2 L2 y2 よりy2を除くとこれは本質的にI-sequenceなので、E R2 F2 E2 R2 E' = R2 F2 E2 R2 が成り立つ (より正確には E R2 F2 E2 R2 E' = E R2 F2 U2 D2 y2 R2 E' = E R2 F2 U2 D2 L2 E' y2 = R2 F2 U2 D2 L2 y2 = R2 F2 E2 y2 L2 y2 = R2 F2 E2 R2 ということであり、ここでいう「本質」とは E と y は可換だがX2と y や E とX2は非可換であることに起因している)。