https://shironetsu.hatenadiary.com/entry/2017/07/18/184008

前回, 2×2行列同士の関係式として表されたDirac方程式として

${ i\partial_\mu \tilde{\sigma}^\mu \Psi = m\Psi^\ddagger\sigma^3 }$
(……式(1))

を得た. 再度書いておくと, 右肩に ${\ddagger}$ を付けて表す「ダブルダガー共役」は, GL(2,C)の元に対して「余因子行列のHermite共役」で定義されている. 「正方スピノル」と呼んでいた ${\Psi}$ はその列ベクトルが左手型の2成分スピノルで構成されており, Lorentz変換とともにSL(2,C)の元D(定義は前の記事を参照)によって

${ \Psi\rightarrow D\Psi }$

と変換する. 一方「共役正方スピノル」と呼んでいた ${\Psi^\ddagger}$ はその列ベクトルが右手型の2成分スピノルで,

${ \Psi^\ddagger \rightarrow (D^{-1})^\dagger \Psi^\ddagger }$

と変換する.

さて, 次の事実を使うことでこの方程式を変形する. すなわち, ${\sigma^\mu\ (\mu=0,1,2,3)}$ はGL(2,C)に対して複素ベクトル空間としての基底をなす. このことは, ${\sigma^\mu}$ の実係数線形結合がHermite行列になり, 一方虚数係数だと歪Hermite行列になること, 任意のGL(2,C)の元がHermite行列と反Hermite行列の和に分解できることを考えれば自然に理解できる.

このことは

${ GL(2,\mathbb{C})=\{z_\mu\sigma^\mu|z_\mu\in\mathbb{C}\} }$

と表せる. このように表すと, ダブルダガー共役は次のようになる.

${ (z_\mu\sigma^\mu)^\ddagger=z^*_\mu\tilde{\sigma}^\mu }$

これを使って式(1)を書き換える.

${\begin{align} \Psi=\varPsi_\mu\sigma^\mu,\ \ \ \Psi^\ddagger=\varPsi^*_\mu\tilde{\sigma}^\mu \end{align}}$

とすると,

${\begin{align} i\partial_\lambda\tilde{\sigma}^\lambda \varPsi_\mu \sigma^\mu=m\varPsi_\mu^*\tilde{\sigma}^\mu\sigma^3 \end{align}}$

ここで

${ \tilde{\sigma}^\lambda\sigma^\mu=\alpha^{\lambda\mu}_\nu\sigma^\nu }$

とする. ${\alpha}$ は複素数で, 具体的には

${\begin{gather} \alpha^{00}_\nu = \delta_{0\nu},\ \ \ \alpha^{0i}_\nu=\delta_{i\nu} \alpha^{i0}_\nu=-\delta_{i\nu},\ \ \ \alpha^{ij}_\nu=-i\epsilon_{ijk}\delta_{k\nu}-\delta^{ij}\delta_{\nu 0}\\ (i,j,k=1,2,3) \end{gather}}$

である(添え字の上下がややいい加減だが...). また,

${\begin{align} \tilde{\sigma}^\lambda\sigma^\mu+\tilde{\sigma}^\mu\sigma^\lambda=2\eta^{\mu\lambda}\sigma^0 \end{align}}$

から,

${ \alpha^{\lambda\mu}_\nu+\alpha^{\nu\lambda}_\nu=2\eta^{\mu\lambda}\delta_{0\nu} }$

が成り立つ. このαを用いると,

${\begin{align} i\partial_\lambda\alpha^{\lambda\mu}_\nu\varPsi_\mu\sigma^\nu&=m\alpha^{\mu 3}_\nu\varPsi_\mu^*\sigma^\nu\\ \therefore\ \ \ i\partial_\lambda\alpha^{\lambda\mu}_\nu\varPsi_\mu&=m(2\eta^{3\mu }\delta_{0\nu}-\alpha^{3\mu}_\nu)\varPsi_\mu^* \end{align}}$

となる. 行列α, βを

${\begin{align} (\alpha^\lambda)_{\nu\mu}=\alpha^{\lambda\mu}_\nu,\ \ \ (\beta)_{\nu\mu}=2\eta^{3\mu }\delta_{0\nu}-\alpha^{3\mu}_\nu \end{align}}$

で定め, ${\vec{\varPsi}}$ を ${\varPsi_{\mu}}$ を成分にもつ4成分の複素ベクトル(列ベクトル)とすると, 式(1)は

${\begin{align} i\partial_\lambda\alpha^\lambda\vec{\varPsi}=m\beta\vec{\varPsi}^* \end{align}}$

と表せることになる. これがDirac方程式の別の表現である. 複素共役が顕わに出てくるのがむず痒い. 行列α,βは書き下すと

${\begin{gather} \alpha^0= \left(\begin{array}{cccc} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array}\right),\ \ \ \alpha^1= \left(\begin{array}{cccc} 0&-1&0&0\\ -1&0&0&0\\ 0&0&0&i\\ 0&0&-i&0 \end{array}\right),\\\ \alpha^2= \left(\begin{array}{cccc} 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-i\\ -1&0&0&0\\ 0&i&0&0 \end{array}\right),\ \ \ \alpha^3= \left(\begin{array}{cccc} 0&0&0&-1\\ 0&0&i&0\\ 0&-i&0&0\\ -1&0&0&0 \end{array}\right),\\\ \beta= \left(\begin{array}{cccc} 0&0&0&-1\\ 0&0&-i&0\\ 0&i&0&0\\ 1&0&0&0 \end{array}\right) \end{gather}}$

となっており, αはすべてHermiteである. さらに

${\begin{gather} (\alpha^1)^2=(\alpha^2)^2=(\alpha^3)^2=1\\ \lbrack\alpha^i,\alpha^j\rbrack=-2i\epsilon^{ijk}\alpha^k\\ \end{gather}}$

が確かめられる. ${(-\alpha^i)}$ の間に成り立つ関係はPauli行列のそれと同じ. すなわち ${(-\alpha^i)}$ はsu(2)の表現になっている. しかしClifford代数の関係は満たされない.

変換性

正方スピノル ${\Psi}$ は行列Dで変換するのだった. Dも ${\sigma}$ を基底としてその成分を表す.

${\begin{align} D=D_\mu\tilde{\sigma}^\mu\ \ \ D_\mu\in\mathbb{C} \end{align}}$

後の便宜のためにチルダ付きの基底で定義している. det(D)=1の条件は次のように書ける

${\begin{align} \det(D){\bf 1}_2&=D\tilde{D}\\ &=D_\mu D_\nu\tilde{\sigma}_\mu\sigma_\nu\\ &=D_\mu D_\nu\frac{1}{2}(\tilde{\sigma}_\mu\sigma_\nu+\tilde{\sigma}_\nu\sigma_\mu)\\ &=\eta^{\mu\nu}D_\mu D_\nu{\bf 1}_2\\ \therefore\ \ \ \eta^{\mu\nu}D_\mu D_\nu&=1 \end{align}}$

DはLorentzノルムが1の複素ベクトルだとわかる. 正方スピノルの変換

${\begin{align} \Psi\rightarrow \Psi'=D\Psi \end{align}}$

に応じて, ベクトル成分は

${\begin{align} \varPsi_\mu\sigma^\mu\rightarrow \varPsi'_\nu \sigma^\nu=D_\lambda\tilde{\sigma}^\lambda\varPsi_\mu\sigma^\mu =D_\lambda\alpha^{\lambda\mu}_\nu\varPsi_\mu\sigma^\nu \end{align}}$