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準同型定理(第一同型定理)

代数学

代数をやっている人にとっての呼吸器官と言われている準同型定理の解説をしようと思います。

※ここで説明するのは群についての準同型定理であって、環にとっての準同型定理はまた別にあります。

目次

群の定義

集合 ${G}$ と二項演算 ${*:G\times G\to G}$ が以下の3つの条件を満たしているならそれは群である。

${\forall a,b,c\in G}$ について、 ${(a*b)*c=a*(b*c)}$ が成り立つ。
${e\in G}$ というものがあって、 ${\forall a \in G}$ について、 ${a*e=e*a=a}$ である。
2での ${e\in G}$ について、 ${\forall a\in G}$ について、 ${a^{-1}}$ というものが存在して、 ${a*a^{-1}=a^{-1}*a=e}$ となる。

また、アーベル群はこれらに加えて ${\forall a,b \in G, a*b=b*a}$ を要求する。

群の例

・ ${\mathbb{R},\mathbb{Q},\mathbb{C},\mathbb{Z}}$ 　演算は足し算

・ ${\mathbb{R}^*,\mathbb{Q}^*,\mathbb{C}^*}$ 　演算は掛け算

（注： ${\mathbb{R}^{*}}$ とは ${\mathbb{R}}$ から0を除くという意味である。）*1

・ ${S_n}$ 　 ${\{1,\ldots,n\}\to \{1,\ldots,n\}}$ の全単射全体の集合で演算は合成

・正則なn次正方行列全体の集合

・自明群 ${\{e\}}$ 　単位元だけの集合

群の性質

・単位元の性質を満たすものが2つ以上存在しない。

・逆元の性質を満たすものは2つ以上存在しない。

証明は演習…（便利な言葉だ）

部分群

${G}$ を群として、その部分集合 ${H}$ が ${G}$ と同じ演算で群になっているならば部分群という

これは以下と同値である。

${G}$ を群とする。このとき部分集合 ${H}$ が以下の条件を満たしていれば部分群であるという。

${G}$ の単位元 ${e}$ について、 ${e\in H}$
${a,b\in H}$ ならば ${ab\in H}$
${a\in H}$ ならば ${a^{-1}\in H}$

部分群の例

・実数の集合 ${\mathbb{R}}$ に対する有理数の集合 ${\mathbb{Q}}$

・実数の集合 ${\mathbb{R}}$ に対する整数の集合 ${\mathbb{Z}}$

・整数の集合 ${\mathbb{R}}$ に対する偶数の集合 ${\mathbb{2Z}}$

・群 ${G}$ に対する単位元だけの集合 ${\{e\}}$

・群 ${G}$ に対する ${G}$ *2

正規部分群

群 ${G}$ の部分群 ${N}$ が以下の条件を満たしている時正規部分群という。

・ ${\forall g\in N,a\in G}$ について、 ${aga^{-1}\in N}$

正規部分群ではない例

上で部分群の例として挙げたものは全部正規部分群でもあるので、正規部分群ではない例を挙げる。*3

・ ${S_3}$ （3次対称群、 ${\{1,2,3\}\to\{1,2,3\}}$ の全単射全体の集合）

における ${N=\{e,(1,2)\}}$ は正規部分群ではない。

（ ${(1,2)}$ とは、1を2,2を1,それ以外はそのままという意味である。）

${(1,2,3)}$ の逆元は ${(1,3,2)}$ であるが、

（ ${(1,2,3)}$ とは1を2,2を3,3を1, ${(1,3,2)}$ は1を3,3を2,2を1に対応させるという意味である）

${g=(1,2),a=(1,2,3)}$ とすると

${(1,2,3)*(1,2)*(1,3,2)=(1,3)}$ となって ${aga^{-1}\notin N}$ となる。

正規部分群の性質

${H}$ が ${G}$ の正規部分群とした時、以下が成立する。

ここで、 ${aH=\{ah|h \in H\},Hb=\{hb| h \in H\},aHb=\{ahb| h \in H\}}$ である。

${aH=Ha}$
${aHb=abH}$

1.の証明

${g \in aH}$ について、 ${h \in H}$ があって、 ${g=ah}$ とかける。このとき、

${g=(aha^{-1})a}$ で、 ${aha^{-1}\in H}$ より ${g\in Ha}$ である。

${ha=g\in Ha}$ についても、 ${g=a*(a^{-1}ha)\in aH}$ である。

2.の証明

${aHb}$ の元は ${h\in H}$ を使って ${ahb}$ と書けるが、

${ahb=ab*(b^{-1}hb)}$ で ${b^{-1}hb\in H}$ より ${ahb\in abH}$ である。逆についても同様

2.で ${b=a^{-1}}$ とすれば、 ${aHa^{-1}=eH=H}$ となる。

準同型写像

${G,H}$ を群とする。このとき写像 ${f:G\to H}$ が恒等式

$$f(g_1)f(g_2)=f(g_1g_2)$$

を満たしているならばこの写像を準同型写像という。

また、準同型写像であってかつ全単射写像であるものを同型写像という。

${G,H}$ の間に同型写像 ${f:G\to H}$ があるならば、 ${G,H}$ は単に同型と言って

${G\cong H}$ とかく。

性質

1. ${G,H}$ の単位元をそれぞれ ${e_g,e_h}$ とする。このとき

${f(e_g)=e_h}$ となる。

2. ${f(a^{-1})=f(a)^{-1}}$

証明は演習問題…というのもひどいので一応ヒントだけ

1.について： ${f(a)*f(e)=f(ae)}$ が成立するからどうなる？

2.について： ${f(a)*f(a^{-1})=f(a*a^{-1})}$ となるからどうなる？（1.を使う）

核と像

${f:G\to H}$ という準同型写像について、写像の核と像を以下のように定める。

核はKer(kernelの略)であり、像はIm(imageの略)である。

$$\ker{f}=\{x\in G|f(x)=e\}\subset G$$

$$\mathrm{im}{f}=\{f(x)|x\in G\}\subset H$$

性質

${\ker{f}}$ は ${G}$ の正規部分群である。

以下証明

${g\in \ker{f}}$ とする。このとき、 ${a\in G}$ について、

${f(aga^{-1})=e}$ を示せばよい

ここで、 ${f(g)=e}$ となるため、

${f(aga^{-1})=f(a)f(g)f(a^{-1})=f(a)f(a^{-1})=e}$

となるので示された。（準同型の性質2を使用した。）

剰余群

${G}$ を群, ${N}$ を正規部分群とする。（単に部分群であるだけではダメ）

このとき、 ${\{aN|a\in G\}}$ について演算を以下のように定める。

$$aN*bN\equiv_\mathrm{def} abN$$

この演算について群になる。これをGのNに対する剰余群といって ${G/N}$ とかく。

注:ここで、 ${a\neq b}$ だが ${aN=bN}$ となる場合もある。

このとき、単位元は ${N}$ で ${aN}$ の逆元は ${a^{-1}N}$ となっている。

剰余群の例

整数の集合 ${\mathbb{Z}}$ に対する偶数の集合 ${2\mathbb{Z}}$ の剰余群

は ${\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\{0+2\mathbb{Z},1+2\mathbb{Z},2+2\mathbb{Z},\ldots\}}$

となっているが、 ${0+2\mathbb{Z}=2+2\mathbb{Z}=4+2\mathbb{Z}=\cdots}$ となっているため、

実質

${\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\{0+2\mathbb{Z},1+2\mathbb{Z}\}}$ となっている。

イメージとしては演算の結果は計算したあと2で割ったあまりに置き換えていると考えればよい。

準同型定理(第一同型定理)

準同型写像 ${f:G\to H}$ について以下が成立する

$$G/\ker{f}\cong \mathrm{im}{f}$$

追記: ${\mathrm{im}f}$ を ${H}$ と間違えていたため訂正しました。

証明

${N=\ker{f}}$ とする。このとき、 ${G/N}$ の元は ${aN}$ と書ける。

このとき ${\varphi : G/N \to H}$ を以下のように定めたら同型写像になる。

$$\varphi(aN)=f(a)$$

これを示すためには以下の四点セットを示す必要がある。

写像がwell-definedであること
準同型であること
単射であること
全射であること

1.well-defined性について

${a\neq b}$ について ${aN=bN}$ となるとき、写像の行き先は ${f(a),f(b)}$ の複数通りがあるが、どれをとっても問題ないことを示す。

ここで、 ${aN=bN}$ ならば ${N=a^{-1}bN}$ より、 ${a^{-1}b\in N}$ となることと同値である。

このとき、 ${f(a)=f(a*(b^{-1}*b))=f(a*b^{-1})*f(b)=f(b)}$ となる。

ここで、 ${ab^{-1}\in N}$ であるため、 ${f(a*b^{-1})=e}$ である。

2.準同型であること

${aN,bN}$ について、 ${aN*bN=abN}$ である。このとき、

${\varphi(aN*bN)=\varphi(abN)=f(ab)}$

${\varphi(aN)\varphi(bN)=f(a)*f(b)=f(ab)}$

より ${\varphi(aN*bN)=\varphi(aN)*\varphi(bN)}$ となるため、 ${\varphi}$ は準同型

3.単射であること

${aN,bN}$ について、 ${\varphi(aN)=\varphi(bN)\Leftrightarrow f(a)=f(b)}$ と仮定した時、

${e=f(a)*f(b)^{-1}=f(a*b^{-1})}$ となる。

よって、 ${ab^{-1}\in N}$ となって、 ${ab^{-1}N=N}$ より、 ${aN=bN}$ となることが示された。

4.全射であること。

${\mathrm{im}f}$ の元は ${a\in G}$ を使って ${f(a)}$ と書くことができる。このとき ${aN\in G/N}$ について ${\varphi(aN)=f(a)}$ となるため、全射である。

1～4より、写像 ${\varphi}$ が同型写像となることが示された。

*1:もちろんCは複素数でRは実数でQは有理数でZは整数でNは自然数である

*2:「真部分群」と言った場合、この例は含まれない。

*3:一般にアーベル群の場合には部分群＝正規部分群になる。

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