https://shakayami-math.hatenablog.com/entry/2019/07/03/181408

概要

${I=[a,b]}$ を有界閉区間としたとき、 ${I}$ 上で定義された連続関数 ${f:I\to\mathbb{R}}$ は最大値と最小値をもつ。つまりある ${c,d\in I}$ があって、全ての ${x\in I}$ について、 ${f(c)\leq f(x)\leq f(d)}$ となる。

証明

最大値の方だけ証明すれば十分である。なぜなら ${-f(x)}$ について同じように最大値の存在を証明すればそれは ${f(x)}$ の最小値になるからである。

さて、有界閉区間上で定義されているため、関数自体は有界である。つまりある ${M\geq 0}$ が存在して、 ${|f(x)|\leq M(\forall x\in I)}$ となる。つまり実数の部分集合の$$f(I)=\{f(x)|x\in I\}$$が有界であるため上限が存在する。（実数の部分集合で有界ならば上限が存在することは、実数の連続性から導くことができる）

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一応上限の定理をさらっておこう。 ${A\subset \mathbb{R}}$ について、 ${a}$ が ${A}$ の上限であるとは、以下の2つを満たすことである。

${\forall x\in A}$ について、 ${x\leq a}$ が成立する
${\forall \epsilon \gt 0}$ について、ある ${x\in A}$ が存在して、 ${a-\epsilon\lt x\leq a}$ が成立する。

また、 ${a}$ が ${A}$ の上限であるとき、 ${a=\sup A}$ と書くこともある。

ここで、 ${\sup A\in A}$ とは限らないことに注意である、どちらの場合もありえるのである。

よって、 ${M}$ が ${f(I)}$ の上限であることは以下のように言い換えられる。

（ ${y\in f(I)}$ であることは、 ${\exists x \in I,f(x)=y}$ と同値であることに注意！）

${\forall x\in I}$ について、 ${f(x)\leq M}$
${\forall \epsilon \gt 0}$ について、ある ${x\in I}$ が存在して、 ${M-\epsilon \lt f(x)\leq M}$ が成立する。

もし、 ${c\in I}$ であって ${f(c)=M}$ となるものが存在した場合、証明として十分であることが分かる（ ${c}$ が実際に最大値を取る ${I}$ 上の値となるため）

実はこのような ${c}$ は存在するので、これを証明しよう。

数列 ${\{x_n\}_{n=1}^{\infty} \in I}$ を、 ${f(x_n)\gt M-\frac{1}{n}}$ を満たすようにとる。どんな ${n}$ についても、このようにとることができる ${x_n}$ が存在する。上限の定義の2つめに対して、 ${\epsilon=\frac{1}{n}}$ を適用すればいいからである。そうすれば条件よりうまい具合に ${x_n\in I}$ が見つかるということになる。*1

ここである程度の察しが付くと「 ${\{x_n\}}$ の極限を ${c}$ とすればいいのでは」思いそうになるが、残念ながらもう1ステップ必要である。 ${\{x_n\}}$ は ${f(x_n)\gt M-\frac{1}{n}}$ を満たしているという性質しか分かっていないため、収束するかどうかは分からない。つまり振動する可能性が残っているということである。ここで、ボルツァーノワイエルシュトラスの定理の使う。

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この定理を使うことで、 ${\{x_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}}$ という部分列が存在して、 ${x_{n_k}}$ が ${k\to \infty}$ で収束するようにとることができる。この収束値を ${c}$ とすると、 ${c\in I}$ であって ${f(c)=M}$ となるのである。