https://shakayami-math.hatenablog.com/entry/2018/07/30/014421

概要

これは実数の連続性の公理から導くことができる定理である。コーシー列と収束性が同値であることを示す過程でもよく使われるが、 ${\epsilon -N}$ 論法を使わないと証明できないため、高校までの数学に出現することはなく、大学数学で初めて出てくる定理とするべきだろう。前提については以下の記事を参照しよう。

shakayami-math.hatenablog.com

証明

${\{a_n\}_{n=1}^{\infty}}$ が有界であるとする。このとき、実数の連続性から集合 ${A=\{a_n|n\in\mathbb{N}\}}$ に対して上限が存在する。よってその上限を ${\sup A=\alpha}$ と定める。

よって、上限の定義より以下の性質が成り立つ。

すべての自然数 ${n}$ に対して、 ${a_n\leq \alpha}$ が成り立つ。
任意の正の実数 ${\epsilon}$ が存在して、ある ${b\in A}$ について、 ${\alpha-\epsilon\lt b \lt \alpha}$ が成り立つ。つまり、 ${A}$ の性質より、ある自然数 ${N\in\mathbb{N}}$ が存在して、 ${\alpha-\epsilon\lt a_N \lt \alpha}$ が成り立つ。

ここで、 ${\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}}$ が単調増加であることから、 ${\alpha-\epsilon\lt a_N\lt \alpha}$ であるとき、 ${n\geq N}$ であるどんな ${n}$ に対しても、 ${\alpha-\epsilon \lt a_N\leq a_n\lt \alpha}$ より、 ${\alpha-\epsilon\lt a_n\lt \alpha}$ であるため、このとき ${|a_n-\alpha|\lt \epsilon}$ がわかる。

よって、「任意の正の実数 ${\epsilon}$ に対して、ある自然数 ${N}$ が存在して、 ${n\geq N}$ ならば ${|a_n-\alpha|\lt \epsilon}$ 」が成立するため、収束の定義から ${a_n}$ が ${\alpha}$ に収束するということも明らかである。（証明終わり）