https://shakayami-math.hatenablog.com/entry/2018/07/29/150409

概要

${\epsilon -N}$ 論法とは、数列の極限を定式化したものである。よって極限に関する諸定理を証明することができるようになる。

定義と軽い説明

${\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha}$ であることを次のように定義する。

$$\forall \epsilon >0, \exists N\in\mathbb{N},\mathrm{s.t.}\ n\geq N \Rightarrow |a_n-\alpha|\lt \epsilon$$

この式について見方を変えてみる。上記の論理式を満たすように、「 ${\epsilon}$ に対して ${N}$ を対応付けることができる」と考えよう。すると、条件を満たすようなものを ${N(\epsilon)}$ というように関数のような形で書くことができるので

$$n\geq N(\epsilon)\Rightarrow |a_n-\alpha|\lt \epsilon$$

というように捉えることができる。

具体的な使用法

たとえば ${\lim_{n\to\infty}1/n=0}$ を示してみよう。 ${a_n=1/n,\alpha=0}$ とおくと、 ${|a_n-\alpha|=1/n}$ である。よってどのような ${\epsilon \gt 0}$ に対してでも、 ${N\epsilon\gt 1}$ となるような自然数 ${N}$ が存在するので、(アルキメデスの原理) ${N(\epsilon)}$ を ${1/\epsilon}$ より大きい最小の自然数とでもすれば、 ${n\geq N(\epsilon)}$ を仮定したとき、 ${1/n\leq 1/N(\epsilon)\lt \epsilon}$ となるため、収束することがわかる。

極限の和と積

この節では、 ${\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha,\lim_{n\to\infty}b_n=\beta}$ とする。

${\epsilon-N}$ 論法を使うと、極限の和と積に関する定理を示すことができる。

例えば和の場合、 ${n\geq N_1(\epsilon)\Rightarrow |a_n-\alpha|\lt \epsilon,n\geq N_2(\epsilon)\Rightarrow |b_n-\beta|\lt \epsilon}$

とすれば、 ${N(\epsilon)=\max \{N_1(\epsilon/2),N_2(\epsilon/2)\}}$ としてしまえば、 ${n\geq N(\epsilon)}$ としたときに、

$$|a_n+b_n-\alpha-\beta|\leq |a_n-\alpha|+|b_n-\beta|$$

$$\lt \epsilon/2+\epsilon/2\lt \epsilon$$

となるため、収束することが示された。

ところで、収束することを示すには、 ${\epsilon}$ の定数倍で評価できれば十分である。 ${K}$ :定数として、 ${n\geq N(\epsilon)\Rightarrow |a_n-\alpha|\lt K\epsilon}$ ならば、 ${n\geq N(\epsilon/K)\Rightarrow |a_n-\alpha|\lt K\epsilon/K=\epsilon}$ となるからである。条件を満たすような ${N(\epsilon)}$ が一つでも存在すれば収束するということに注意しよう。

さて、積についても基本的には同様だが、少し工夫が必要である。 ${n\geq N_1(\epsilon)\Rightarrow |a_n-\alpha|\lt \epsilon,n\geq N_2(\epsilon)\Rightarrow |b_n-\beta|\lt \epsilon}$ であることに加えて、 ${|b_n|\leq M}$ となるような実数 ${M}$ が存在すること（＝ ${b_n}$ が有界であること）も利用する。

収束する数列が有界であることは簡単に示せて、 ${n\geq N_2(1)}$ ならば、 ${\beta-1\lt b_n\lt \beta+1}$ であるため、 ${M=\max\{|b_n|\ |n\leq N_2(1)\}\cup \{|\beta|+1\}}$ としてしまえば任意の自然数 ${n}$ に対して、 ${|b_n|\leq M}$ が成立すると分かる。

さて、積の極限についてだが、 ${N(\epsilon)=\max \{N_1(\epsilon),N_2(\epsilon)\}}$ としてしまえば、 ${n\geq N(\epsilon)}$ としたときに、

$$|a_nb_n-\alpha\beta|=|b_n(a_n-\alpha)+\alpha(b_n-\beta)|$$

$$\leq |b_n|\cdot|a_n-\alpha|+|\alpha|\cdot|b_n-\beta|$$

$$\lt M\epsilon+\alpha\epsilon=(M+\alpha)\epsilon$$

となるため、これもまた収束することを示すことができた。

さらに、 ${\beta\neq 0}$ とすれば、 ${\epsilon\lt |\beta|/2}$ としたとき、 ${n\geq N(\epsilon)}$ ならば

$$|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{\beta}|=\frac{|b_n-\beta|}{|b_n||\beta|}$$

$$\lt \frac{2\epsilon}{|\beta|^2}$$となる。

よって逆数の極限も極限の逆数であることが分かった。これと積の極限の定理を組み合わせると、商の極限定理を示すことができるようになる。

はさみうちの原理

${a_n,b_n,c_n}$ を数列として、 ${a_n\lt b_n\lt c_n}$ が任意の自然数 ${n}$ で成立すると仮定しよう。このとき、 ${n\to\infty}$ のとき、 ${a_n\to k,c_n\to k}$ が成立すると仮定する。このとき ${a_n,c_n}$ に不等式で挟み撃ちされた状態にある ${b_n}$ も、 ${a_n,c_n}$ と同じように ${k}$ に収束するというものがはさみうちの原理である。これは受験数学ではよく出てくるやつでお馴染みなのかもしれないが、証明は ${\epsilon-N}$ 論法を使わないとできないのである。

${a_n,c_n}$ がともに収束するため、 ${N=N(\epsilon)}$ を取ることができて、 ${n\geq N}$ について ${k-\epsilon\lt a_n\lt k+\epsilon,k-\epsilon\lt c_n\lt k+\epsilon}$ が成立する。これに ${b_n}$ に関する挟み撃ちの前提も適用させると、

$$k-\epsilon\lt a_n\lt b_n\lt c_n\lt k+\epsilon$$

となり、そこから

$$k-\epsilon\lt b_n\lt k+\epsilon \Rightarrow |b_n-k|\lt \epsilon$$

が成り立つ。よってそこから ${b_n}$ が ${k}$ に収束することもわかる。