56 岩手県花泉町金沢字大門沢 大門神社 慶應2年(1866)
安富有恒：和算—岩手の現存算額のすべて，青磁社，東京都，1987.
http://www.wasan.jp/iwatenosangaku_yasutomi.pdf
キーワード：円5個，半楕円，長方形
#Julia, #SymPy, #算額, #和算
長方形の中に 4 個の等半楕円と 5 個の等円を容れる。半楕円と 2 個の等円は 1 点で接している。楕円の短径が 1 寸のとき，長径はいかほどか。
右下の楕円の長半径，短半径，中心座標を \(a,\ b,\ (a,\ 0)\)
等円の半径と中心座標を \(r,\ (x, 0),\ (0,\ b)\)
共通接点の座標を \( (x_0,\ y_0)\)
とおき，以下の連立方程式を解く。
eq1 は算法助術の公式84，eq2 は算法助術の公式99 である。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms r::positive, a::positive, b::positive,
x::positive
eq1 = (a - x)^2 - (a^2 - b^2)*(b^2 - r^2)/b^2
eq2 = b^2 - 4r^2*(a^2*r^2 - b^4)/(a^2 - b^2)/r^2
eq3 = x^2 + b^2 - 4r^2
res = solve([eq1, eq2, eq3], (a, r, x))[1] # 1 of 2
(b*sqrt(-3 + 2*sqrt(3))*(sqrt(3) + 2), b*sqrt(-2 + 2*sqrt(3))/2, b*sqrt(-3 + 2*sqrt(3)))
# a: 楕円の長半径
ans_a = res[1] |> sympy.sqrtdenest |> simplify
@show(ans_a)
ans_a = sqrt(2)*3^(1/4)*b*(1 + sqrt(3))/2
\(\displaystyle \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3} b \left(1 + \sqrt{3}\right)}{2}\)
ans_a(b => 1/2).evalf()
\(1.27122987841871\)
短半径が 1/2 のとき，長半径は 1.2712298784187062（短径が 1 のとき，長径は 2.5424597568374123）である。
術は「短径の sqrt(√12 +3) 倍が長径である」ということで，等価の式である。
sqrt(Sym(2))*3^(Sym(1)//4)*(1 + sqrt(Sym(3)))/2 - sqrt(√Sym(12) + 3) |> simplify
\(0\)
# r: 等円の半径
ans_r = res[2]
@show(ans_r)
ans_r = b*sqrt(-2 + 2*sqrt(3))/2
\(\displaystyle \frac{b \sqrt{-2 + 2 \sqrt{3}}}{2}\)
ans_r(b => 1/2).evalf() |> println
0.302500166853028
# x: 等円の中心座標
ans_x = res[3]
@show(ans_x)
ans_x = b*sqrt(-3 + 2*sqrt(3))
\(b \sqrt{-3 + 2 \sqrt{3}}\)
ans_x(b => 1/2).evalf() |> println
0.340625019316607
描画関数プログラムのソースを見る
function ellipse2(ox, oy, a, b, color=:red; beginangle=0, endangle=360)
θ = range(beginangle, endangle, length=500)
x = ox .+ a*cosd.(θ)
y = oy .+ b*sind.(θ)
plot!(x, y, color=color, lw=0.5)
end;
function draw(b, more)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, showaxis=false, label="", fontfamily="IPAMincho")
a = sqrt(2)*3^(1/4)*b*(1 + sqrt(3))/2
r = b*sqrt(-2 + 2*sqrt(3))/2
x = b*sqrt(-3 + 2*sqrt(3))
@printf("楕円の短径が %g のとき，長径は %g である。\n", 2b, 2a)
plot([-a, a, a, -a, -a], [-b, -b, 3b, 3b, -b], color=:green, lw=0.5)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
end
ellipse2(a, 0, a, b, beginangle=90, endangle=270)
ellipse2(a, 2b, a, b, beginangle=90, endangle=270)
ellipse2(-a, 0, a, b, beginangle=-90, endangle=90)
ellipse2(-a, 2b, a, b, beginangle=-90, endangle=90)
circle(0, b, r, :blue)
circle(x, 0, r, :blue)
circle(x, 2b, r, :blue)
circle(-x, 0, r, :blue)
circle(-x, 2b, r, :blue)
if more
point(x, 0, "等円:r,(x,0)", :blue, :center, delta=-delta)
point(0, b, "等円:r,(0,b)", :blue, :center, delta=-delta)
point(a, 0, "(a,0)", :red, :right, :bottom, delta=delta)
point(a, b, "(a,b)", :red, :right, :bottom, delta=delta)
end
end;
draw(1/2, true)
楕円の短径が 1 のとき，長径は 2.54246 である。
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