江戸 愛宕神社 文政13年(1830)
深川英俊，トニー・ロスマン：聖なる数学：算額，p. 108，森北出版株式会社，2010年４月22日.
キーワード：正方形
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
辺の長さが \(a,\ b,\ c,\ d\) の 4 個の正方形が頂点を共有して図のように並んでいる。
\(a,\ b,\ c\) が与えられたとき，\(d\) を求める術を述べよ。
この特殊な場合が左右対称な「算額（その657）」である。
思いつくのは，第二余弦定理の適用であるが，\(\beta = \pi - \alpha\) ではあるが，変数の個数が多くて，以下の連立方程式は解けなかった。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms a::positive, b::positive, c::positive, d::positive,
α::positive, β::positive
eq1 = b^2 + d^2 - 2b*d*cos(α) - a^2
eq2 = b^2 + d^2 - 2b*d*cos(β) - c^2
res = solve([eq1, eq2], (c, d))
2-element Vector{Tuple{Sym{PyCall.PyObject}, Sym{PyCall.PyObject}}}:
(sqrt(a^2 + (b*cos(α) - sqrt(a^2 + b^2*cos(α)^2 - b^2))*(2*b*cos(α) - 2*b*cos(β))), b*cos(α) - sqrt(a^2 + b^2*cos(α)^2 - b^2))
(sqrt(a^2 + (b*cos(α) + sqrt(a^2 + b^2*cos(α)^2 - b^2))*(2*b*cos(α) - 2*b*cos(β))), b*cos(α) + sqrt(a^2 + b^2*cos(α)^2 - b^2))
補助線を引くと，\(\cos(\alpha)\) は \(CX/BC\) で，\(CX = x\) とおくと，\(x/d\) である。\(\cos(\beta)\) は \(-x/d\)。
これらを代入して，以下の連立方程式を解いて \(d,\ x\) を求めると \(a,\ b,\ c\) を含む式として解が得られる。
@syms x
eq11 = eq1(d*cos(α) => x)
eq11 |> println
-a^2 + b^2 - 2*b*x + d^2
eq12 = eq2(d*cos(β) => -x)
eq12 |> println
b^2 + 2*b*x - c^2 + d^2
res = solve([eq11, eq12], (d, x))[1]
(sqrt(2)*sqrt(a^2 - 2*b^2 + c^2)/2, -(a - c)*(a + c)/(4*b))
# d
res[1] |> println
sqrt(2)*sqrt(a^2 - 2*b^2 + c^2)/2
\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}\sqrt{a^2 - 2b^2 + c^2}}{2}\)
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