36 岩手県一関市真柴字境田 牧沢八幡神社 明治5年(1872)
安富有恒：和算—岩手の現存算額のすべて，青磁社，東京都，1987.
http://www.wasan.jp/iwatenosangaku_yasutomi.pdf
一関市博物館 第23回 令和6年度 和算に挑戦！
https://www.city.ichinoseki.iwate.jp/index.cfm/7,177295,c,html/177295/20241125-090413.pdf
キーワード：円2個，直角三角形，長方形，折り紙
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
長辺，短辺が 4，3 の長方形の紙を折ってできる直角三角形に内接する円の直径はいかほどか。
長辺，短辺の長さを \(a, b\)
折り線と長辺の交点座標を \( (c, 0)\)
元の頂点が対角線上に重なる座標を \( (x_0, y_0)\)
円の半径と中心座標を \(r, (x, y)\)
とおき，以下の連立方程式を解く。
円の半径だけを求めるならば eq1, eq2 だけの連立方程式を解けばよい。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms a, b, c, r, diag, x0, y0, x, y
eq1 = ( (sqrt(a^2 + b^2) - b)^2 + c^2) - (a - c)^2
eq2 = c + sqrt(a^2 + b^2) - b - (a - c) - 2r
eq3 = y0/(a - x0) - b/a
eq4 = (x0 - c)^2 + y0^2 - c^2;
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4], (c, r, x0, y0))[1]
(b*(-b + sqrt(a^2 + b^2))/a, (a*(-a - b + sqrt(a^2 + b^2))/2 - b^2 + b*sqrt(a^2 + b^2))/a, a*b/sqrt(a^2 + b^2), -b^2/sqrt(a^2 + b^2) + b)
対角線の長さを \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\) とすれば，
折り線と長方形の頂点の交点の \(x\) 座標は \(c = b(d - b)/a\)
円の半径は \( (d - a - b)/2 + c\) である。
以下は図を描くために円の中心座標を求める連立方程式であるが，\(a, b\) を記号のままで解くと長い式になるので，eq5, eq6 の \(a, b\) に特定の値を与えて解くほうが現実的である。
eq5 = dist2(a, 0, 0, b, x, y, r)(r => res[2], x0 => res[3], y0 => res[4])(a => 4, b => 3)
eq6 = dist2(c, 0, x0, y0, x, y, r)(c => res[1], r => res[2], x0 => res[3], y0 => res[4])(a => 4, b => 3);
solve([eq5, eq6], (x, y))[3] # 3 of 4
(5/2, 1/2)
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(a, b, more)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
d = sqrt(a^2 + b^2)
c = b*(d - b)/a
r = (d - a - b)/2 + c
(x0, y0) = (a*b/d, -b^2/d + b)
(x, y) = (5/2, 1/2)
@printf("a = %g; b = %g; d = %g; c = %g; r = %g\n", a, b, d, c, r)
plot([0, a, a, 0, 0], [0, 0, b, b, 0], color=:green, lw=0.5, seriestype=:shape, fillcolor=:lemonchiffon)
plot!([c, a, x0, c], [0, 0, y0, 0], color=:gray, seriestype=:shape, fillcolor=:orange)
plot!(a .- [c, a, x0, c], b .- [0, 0, y0, 0], color=:gray, seriestype=:shape, fillcolor=:orange)
plot!([0, c, x0, 0], [b, 0, y0, b], color=:red, seriestype=:shape, fillcolor=:white)
plot!(a .- [0, c, x0, 0], b .- [b, 0, y0, b], color=:red, seriestype=:shape, fillcolor=:white)
circlef(x, y, r)
circlef(a - x, b - y, r)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(0, b, " b", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(a, b, "(a,b)", :blue, :right, :bottom, delta=delta/2)
point(a - c, b, "(a-c,b)", :blue, :center, :bottom, delta=delta/2)
point(c, 0, "c ", :blue, :right, :bottom, delta=delta/2)
point(x0, y0, "(x0,y0)", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(x, y, "(x,y)", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
end
end;
draw(4, 3, true)
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