57 岩手県花泉町金沢字大門沢 大門神社 明治13年(1880)
安富有恒：和算—岩手の現存算額のすべて，青磁社，東京都，1987.
http://www.wasan.jp/iwatenosangaku_yasutomi.pdf
キーワード：円7個，外円，斜線
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
大円と 2 本の斜線で区分される領域に 6 個の小円を描く。小円の直径が 1 寸のとき黄積はいかほどか。
大円の半径と中心座標を \(r_1, (0, 0)\)
小円の半径と中心座標を \(r_2, (r_1 - r_2, 0), (x_2, y_2), (x_3, y_3)\)
とおく。
黄積は，「2 本の弦と小円の弧で囲まれる領域 ABCG の 2 倍」である。OCE は ODG と相似なので，図に示した黄色の部分の面積は，「長方形 ABCD から，小円 1 個分の面積を差し引いた面積」である。
BC は小円の直径であるが，AB は何か?
三角形OCH において \(\theta =\) ∠COH とすると，CH \(= \sin(θ) = r_2/3r_2 = 1/3\) なので \(\theta = \arcsin(1/3)\)， OC\( = 3r_2\cos(\theta) = 3r_2\cos(\arcsin(1/3)) = 2\sqrt{2}r_2\) である。BC は \(4\sqrt{2}r_2\) である。
長方形 ABCD の面積\( = 2r_2 \cdot 2\sqrt{2}2r_2\)
小円 1 個分の面積\( = \pi r_2^2\)
黄積 = 「2*(長方形 ABCD の面積」 - 「小円 1 個分の面積」)
= \(2(2r_2\cdot 2\sqrt{2}2r_2 - \pi r_2^2)\)
= \(2(8\sqrt{2} - \pi)r_2^2\)
小円の半径が 1/2 のとき，黄積は 4.086057922697484 である。
r2 = 1/2
2(8√2 - π)*r2^2
4.086057922697484
術は，「\( (\sqrt{32} - 2\cdot 円積率)\cdot 小円径\)」で，円積率として \(\pi/4\) を使い，小円の直径が 1 のとき，\( (\sqrt{32} - 2\pi/4)\cdot 1 = 4.086057922697484\) で，答え 4.086余 となっている。
上述の結果と同じである。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms a::negative, r1::positive, r2::positive,
x2::positive, y2::positive,
x3::negative, y3::positive;
eq1 = -(r1 - 2r2)/a - r2/(r1 - r2)
eq2 = -r2/(r1 - r2 + a) - r2/(r1 - r2)
eq3 = x2^2 + y2^2 - (r1 - r2)^2
eq4 = (r1 - r2 - x2)^2 + y2^2 - 4r2^2
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4], (r1, a, x2, y2))[1]
(4*r2, -6*r2, 7*r2/3, 4*sqrt(2)*r2/3)
大円の半径は，小円の半径の 4 倍である。
以下は，上下の円を描くために必要な円の中心を求めるための計算。
@syms θ
r1 = 4r2
a = -6*r2
θ = asin(r2/(r1 - r2 + a))
eq5 = x3^2 + y3^2 - (r1 - r2)^2
eq6 = dist2(a, 0, 0, a*tan(θ), x3, y3, r2)
res2 = solve([eq5, eq6], (x3, y3))[1] # 1 of 3
(-r2, 2*sqrt(2)*r2)
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(r2, more)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
r1 = 4r2
(r1, a, x2, y2) = (4*r2, -6*r2, 7*r2/3, 4*sqrt(2)*r2/3)
(x3, y3) = (-r2, 2*sqrt(2)*r2)
plot()
circle(0, 0, r1, :magenta)
circle2(r1 - r2, 0, r2)
circle22(x2, y2, r2)
circle22(x3, y3, r2)
slope = tan(asin(r2/(r1 - r2 + a)))
abline(a, 0, slope, 1.05a, r1 + 2r2, :green)
abline(0, 0, -slope, 1.05a, r1 + 2r2, :blue)
abline(2a, 0, -slope, 1.05a, r1 + 2r2, :blue)
abline(a, 0, -slope, 1.05a, r1 + 2r2, :green)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(r1 - r2, 0, "r1-r2", :red, :center, delta=-delta/2)
point(r1, 0, " r1", :red, :left, delta=-delta/2)
end
end;
draw(1/2, true)
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