神壁算法 〇三 播州垂井 住吉大明神社 寛政12年(1800)
藤田貞資門人 播州小野 高瀬恒右衛門信之
藤田嘉言(1807)：続神壁算法
http://www.wasan.jp/jinpeki/jinpeki.html
キーワード：円6個
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
大円 3 個が交わっており，小円 3 個を容れる。黒積が 3329.29のとき，小円の直径はいかほどか。
大円の半径と中心座標を \(r_1, (0, r_1), (\sqrt{3}r_1, -r_1/2)\)
小円の半径と中心座標を \(r_2, (x_2, x_2/\sqrt{3})\)
とおく。
まず，\(r_2\) が与えられたとき，\(r_1\) を求める。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
(7*r2/6, 2*sqrt(3)*r2/3)
大円の半径は小円の半径の 7/6 倍である。
黒積は，図の灰色部分の 6 倍である。
灰色部分の面積は，(大円の面積/2 - 小円の面積/2) - 2(大円の面積/6 - 正三角形OBCの面積) である。
@syms r1, r2, 黒積, d
r1 = 7r2/6
eq = 6*( (PI*r1^2/2 - PI*r2^2/2) - 2(PI*r1^2/6 - r1^2*√Sym(3)/4)) - 黒積
eq |> println
-59*pi*r2^2/36 + 49*sqrt(3)*r2^2/12 - 黒積
方程式を解き，小円の半径 \(r_2 = 6\sqrt{黒積}/\sqrt{-59\pi + 147\sqrt{3}}\) である。
黒積が 3329.29 のとき，小円の直径は \(12\sqrt{黒積}/\sqrt{-59\pi + 147\sqrt{3}} = 83.20006146161401\) である。
ans_r2 = solve(eq, r2)[2]
ans_r2 |> println
6*sqrt(黒積)/sqrt(-59*pi + 147*sqrt(3))
# r2
黒積 = 3329.29
12*sqrt(黒積)/sqrt(-59*pi + 147*sqrt(3))
83.20006146161401
「術」は「\(\sqrt{3329.29}(\sqrt{64827} - 59\pi))\cdot 12 = 83.20006146161398\)」，上の結果と一致する。
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
r2 = 83.20006146161401/2
(r1, x2) = (7*r2/6, 2*sqrt(3)*r2/3)
y2 = -x2/√3
x1 = √3r1
y1 = -r1/2
円周率 = 3.16
円周率 = π
S = 6(円周率*r1^2/2 - 円周率*r2^2/2 - 2(円周率*r1^2/6 - r1^2*√3/4))
@printf("r1 = %g, r2 = %g のとき，黒積は %g\n", r1, r2, S)
plot()
rotate(0, r1, r1)
rotate(0, 2r1 - r2, r2, :blue)
θ = -30:0.1:90
x = r1.*cosd.(θ)
y = r1.*sind.(θ) .+ r1
θ = 90:-0.1:-90
append!(x, r2.*cosd.(θ))
append!(y, r2.*sind.(θ) .+ (2r1 - r2))
θ = 150:-0.1:90
append!(x, r1.*cosd.(θ) .+ √3r1/2)
append!(y, r1.*sind.(θ) .- r1/2)
plot!(x, y, color=:gray80, seriestype=:shape, fillcolor=:gray80, lw=0.5)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(0, r1, "大円:r1,(0,r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
point(0, 2r1 - r2, "小円:r2,(0,2r1-r2)", :blue, :center, :bottom, delta=delta)
point(0, 0, "O", :green, :center, delta=-1.5delta)
point(r1*sind(30), r1 - r1*cosd(30), "A", :green, :left, delta=-delta)
point(r1*sind(60), r1 - r1*cosd(60), "B", :green, :left, delta=-delta)
point(0, r1, "C ", :green, :right, :bottom, delta=-delta)
end
end;
draw(true)
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