13 岩手県奥州市（旧水沢市佐倉河） 胆沢城跡鎮守府八幡宮 弘化2年(1845)
安富有恒：和算—岩手の現存算額のすべて，青磁社，東京都，1987.
http://www.wasan.jp/iwatenosangaku_yasutomi.pdf
キーワード：直角三角形，正五角形，五芒星
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
問：今有鈎股内如図設桔梗形(乃矩五角)其内面若干問得弦術如何
直訳：直角三角形の中に桔梗形を置き，その内部の五角形の一辺から弦を求める術を述べよ。
直角三角形の中に五芒星を描く。その頂点の 2 つは底辺（股）上に，もう 2 つは 斜辺（弦）上に，残りの 1 つが垂線（鈎）上にある。内部にできる正五角形の一辺の長さが与えられたとき，弦の長さを求める術を述べよ。
正五角形の一辺の長さを \(a\) とする。一般性を失わずに \(a = 1\) と置くことができる。
正五角形が内接する円の半径を \(r\)，五芒星が内接する円の半径を \(R\) とおく。
五芒星の 5 個の頂点の \(x-y\) 座標を求める。
直角三角形の鈎，股はこれらの座標によって表すことができる。
鈎，股が得られれば，弦も求めることができる。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms R::positive, r::positive, a::positive, outer::positive,
s18, s36, s54, ax, ay, bx, by, cx, cy, dx, dy, ex, ey
a = 1 # IJ, 一般性を失わずに，内部の正五角形の一辺の長さを 1 と置くことができる
s18 = Sym(18)
s36 = Sym(36)
s54 = Sym(54)
r = a/2cosd(s54)
R = r*sind(s54)/sind(s18)
# outer = 2R*sind(s36) # 五芒星が内接する正五角形の一辺の長さ
(ax, ay) = (R*cosd(s18), R*sind(s18))
(bx, by) = (0, R)
(cx, cy) = (-ax, ay)
(ex, ey) = (R*sind(s36), -R*cosd(s36))
(dx, dy) = (-ex, ey)
股 = 2ax + (ax - dx) # FG = CA + DA' = CA + A'G
鈎 = (ay - ey) + 2(by - cy) # FH = AA' + 2B'C
弦 = sqrt(鈎^2 + 股^2); # GH
弦は複雑な長い式で表されるが，簡約化すると \(2\sqrt{5} + 5\) になる。
@syms d
apart(弦,d) |> println
2*sqrt(5) + 5
弦は内部の正五角形の一辺の長さの \(2\sqrt{5} + 5\) 倍である。
「術」の \(\sqrt{20} + 5\) に一致した。
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
a = 1 # 一般性を失わずに，内部の正五角形の一辺の長さを 1 と置くことができる
(s18, s36, s54) = (18, 36, 54)
r = a/2cosd(s54)
R = r*sind(s54)/sind(s18)
# outer = 2R*sind(s36) # 五芒星が内接する正五角形の一辺の長さ
(ax, ay) = (R*cosd(s18), R*sind(s18))
(bx, by) = (0, R)
(cx, cy) = (-ax, ay)
(ex, ey) = (R*sind(s36), -R*cosd(s36))
(dx, dy) = (-ex, ey)
股 = 2ax + (ax - dx)
鈎 = (ay - ey) + 2(by - cy)
弦 = sqrt(鈎^2 + 股^2)
(ix, iy) = float.(intersection(cx, cy, ax, ay, bx, by, dx, dy))
@printf("R = %g; 鈎 = %g; 股 = %g; 弦 = %g\n", R, 鈎, 股, 弦)
plot(cx .+ [0, 股, 0, 0], dy .+ [0, 0, 鈎, 0], color=:green, lw=0.5)
plot!([ax, cx, ex, bx, dx, ax], [ay, cy, ey, by, dy, ay], color=:blue, lw=0.5)
circle(0, 0, R, :gray80)
circle(0, 0, r, :gray80)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(ax, ay, " A", :blue, :left, :bottom, delta=delta)
point(ax, dy, " A'", :blue, :left, :bottom, delta=delta)
segment(ax, ay, ax, dy, :gray80)
point(bx, by, "B", :blue, :left, :bottom, delta=delta)
point(cx, by, "B'", :blue, :right, :vcenter)
segment(bx, by, cx, by, :gray80)
point(cx, cy, "C ", :blue, :right, :vcenter)
point(dx, dy, "D", :blue, :center, delta=-2delta)
point(ex, ey, "E", :blue, :center, delta=-2delta)
point(cx, dy, "F", :green, :center, delta=-2delta)
point(cx + 股, dy, "G", :green, :center, delta=-2delta)
point(cx, dy + 鈎, "H ", :green, :right, :vcenter)
point(0, 0, "O", :blue, :center, :bottom, delta=delta)
point(ix, iy, "I ", :blue, :right, :bottom, delta=delta)
point(-ix, iy, " J", :blue, :left, :bottom, delta=delta)
plot!(xlims=(cx - 10delta, cx + 股 + 5delta), ylims=(dy - 8delta, dy + 鈎 + 5delta))
end
end;
draw(true)
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