七十五 群馬県吾妻町三島 馬頭観世音 嘉永4年(1851)
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.
キーワード：円6個，直角三角形，正五角形，梅鉢
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
直角三角形の中に正五角形，大円 5 個，小円 1 個を容れる。大円は正五角形に内接し，大円，小円は互いに外接し合っている。股，弦がそれぞれ 15 寸，17 寸のとき，大円の直径はいかほどか。
注：「股，弦がそれぞれ 15 寸，17 寸のとき」正五角形は図のようには内接しない。
正五角形の外接円の半径と中心座標を \(R,\ (0,\ 0)\)
大円の半径と中心座標を \(r_1,\ (0,\ r_2 + r_1)\)
小円の半径と中心座標を \(r_2,\ (0,\ 0)\)
とおく。
小円の半径 \(r_2\) が既知として，以下の連立方程式を解き \(R,\ r_1\) を求める。 また，外接円の半径がわかれば，正五角形が内接する直角三角形の頂点座標および鈎，股，弦の長さは簡単に計算できる。
\(R,\ r_2\), 鈎, 股, 弦が特定の値を取るときの \(r_1\) は比例計算で求められる。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms R::positive, r1::positive, x1::positive, y1::positive,
r2::positive
eq1 = r1 - (r1 + r2)*sind(Sym(36))
eq2 = r1 - (R - r1 - r2)*cosd(Sym(36));
res = solve([eq1, eq2], (R, r1));
# R
@syms t # = sqrt(5-sqrt(Sym(5)))
res[R](sqrt(5-sqrt(Sym(5))) => t) |> simplify |> println
2*r2*(2*t + sqrt(2) + sqrt(10))/(-sqrt(5)*t - t + 2*sqrt(2) + 2*sqrt(10))
# r1
res[r1](sqrt(5-sqrt(Sym(5))) => t) |> simplify |> println
-r2*t/(t - 2*sqrt(2))
小円の半径 \(r_2\) が 1/2 のとき
\(大円径 = 1.42592;\ 外円径 = 4.18845;\ 鈎 = 5.23557;\ 股 = 7.20614;\ 弦 = 8.90728\)
「答曰大円径二寸六分二厘有奇」なので，大円径が 2.62 寸のときは小円の半径は 1.83741023576469/2 で，そのとき
大円径 = 2.62; 外円径 = 7.69591; 鈎 = 9.61989; 股 = 13.2406; 弦 = 16.3663
股は 15 寸ではなく，弦も 17 寸ではない。
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(r2, more)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
t = sqrt(5 - √5)
u = √2 + √10
R = 2r2*(2t + u)/(2u - √5t - t)
r1 = r2*t/(2√2 - t)
θ = range(start=90, step=72, length=6)
x = R.*cosd.(θ)
y = R.*sind.(θ)
(x1, y1) = float.(intersection(x[1], y[1], x[2], y[2], x[3], y[3], x[4], y[4]))
(x2, y2) = float.(intersection(x[1], y[1], x[2], y[2], x[5], y[4], x[5], y[5]))
(鈎, 股) = (y2 - y1, x2 - x1)
弦 = sqrt(鈎^2 + 股^2)
@printf("大円径 = %g; 外円径 = %g; 鈎 = %g; 股 = %g; 弦 = %g\n", 2r1, 2R, 鈎, 股, 弦)
circle(0, 0, R)
plot(x, y, color=:green, lw=0.5, axis=false)
circle(0, 0, r2, :magenta)
rotate(0, r1 + r2, r1, :blue, angle=72)
#segment(x[5], y[4], x1, y1)
#segment(x[5], y[4], x2, y2)
#segment(x1, y1, x2, y2)
plot!([x1, x2, x2, x1], [y1, y1, y2, y1], color=:red, lw=0.5)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(x1, y1, "(x1,y1)", :red, :left, delta=-delta)
point(x2, y2, " (x2,y2)", :red, :right, :bottom, delta=delta)
point(x2, y1, " (x2,y1)", :red, :right, delta=-delta)
point(0, r2 + r1, "大円:r1\n(0,r2+r1)", :blue, :center, delta=-delta)
point(0, 0, "小円:r2", :magenta, :center, delta=-delta)
end
end;
draw(1.83741023576469/2, true)
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