七十五 群馬県吾妻町三島 馬頭観世音 嘉永4年(1851)
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.
キーワード：円3個，四分円，正方形
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
算題の文字は判読できないということであるが，「正方形の中に 90 度に開いた二面の扇を配し，隙間に3個の日の丸を容れる」という趣向の額面であろう。扇の骨の部分は装飾である。
正方形の一辺の長さを \(a\)
四分円の半径と中心座標を \(r_1,\ (0,\ 0),\ (a,\ a)\)
日の丸円の半径と中心座標を \(r_2,\ (a - r_2,\ r_2),\ (r_2,\ a - r_2)\)
とおき，以下の連立方程式を解く。
変数は \(a,\ r_1,\ r_2\) の 3 個であるが，どれか 1 つを与えて他の 2 変数の値を求める。\(a,\ r_1,\ r_2\) は比例関係にあるので，たとえば \(a = 1\) として得られた解を元に，\(r_1,\ r_2\) が与えられたときの残りの 2 変数の比を計算しておけばよい。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms a::positive, r1::positive, r2::positive
eq1 = (a - r2)^2 + r2^2 - (r1 + r2)^2
eq2 = 2(a/2)^2 - (r1 - r2)^2;
1. \(a\) を与えて \(r_1,\ r_2\) を求める場合
res1 = solve([eq1, eq2], (r1, r2))[1]; # 1 of 2
# r1
res1[1] |> simplify |> println
a*(-1 + sqrt(2*sqrt(2) + 4))/2
# r2
res1[2] |> simplify |> println
a*(-sqrt(2) - 1 + sqrt(2*sqrt(2) + 4))/2
2. \(r_1\) を与えて \(a,\ r_2\) を求める場合
res2 = solve([eq1, eq2], (a, r2))[1]; # 1 of 2
# a
res2[1] |> simplify |> println
2*r1*(-2*sqrt(2) + sqrt(20 - 14*sqrt(2)) + 3)
# r2
res2[2] |> simplify |> println
r1*(-3*sqrt(2) - 2*sqrt(10 - 7*sqrt(2)) + 5)
3. \(r_2\) を与えて \(a,\ r_1\) を求める場合
res3 = solve([eq1, eq2], (a, r1))[2]; # 2 of 2
# a
res3[1] |> simplify |> println
2*r2*(1 + sqrt(2) + sqrt(2*sqrt(2) + 4))
# r2
res3[2] |> simplify |> println
r2*(sqrt(2) + 3 + 2*sqrt(sqrt(2) + 2))
数値の場合は，横方向に 2 個の比を取ればどれも同じになる
\(a\) を与えて \(r_1,\ r_2\) を求める場合
\(a = 1,\ r_1 = 0.806563,\ r_2 = 0.0994562\)
\(r_1\) を与えて \(a,\ r_2\) を求める場合
\(a = 1.23983,\ r_1 = 1,\ r_2 = 0.123309\)
\(r_2\) を与えて \(a,\ r_1\) を求める場合
\(a = 10.0547,\ r_1 = 8.10973,\ r2 = 1\)
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(arg, type, more)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
if type == 1
a = arg
r1 = a*(-1 + sqrt(2*sqrt(2) + 4))/2
r2 = a*(-sqrt(2) - 1 + sqrt(2*sqrt(2) + 4))/2
elseif type == 2
r1 = arg
a = 2*r1*(-2*sqrt(2) + sqrt(20 - 14*sqrt(2)) + 3)
r2 = r1*(-3*sqrt(2) - 2*sqrt(10 - 7*sqrt(2)) + 5)
elseif type == 3
r2 = arg
a = 2*r2*(1 + sqrt(2) + sqrt(2*sqrt(2) + 4))
r1 = r2*(sqrt(2) + 3 + 2*sqrt(sqrt(2) + 2))
else
println("draw の引数は, (arg, type, more) で，type は 1, 2, 3 のいずれか")
return
end
@printf("type = %d; a = %g; r1 = %g; r2 = %g\n", type, a, r1, r2)
plot([0, a, a, 0, 0], [0, 0, a, a, 0], color=:magenta, lw=0.5, showaxis=false)
circle(0, 0, r1, :blue, beginangle=0, endangle=90)
circle(a, a, r1, :blue, beginangle=180, endangle=270)
circle(0, 0, r1/2, :green, beginangle=0, endangle=90)
circle(a, a, r1/2, :green, beginangle=180, endangle=270)
for i = 1:3
θ = 90i/4
segment(0, 0, r1/2*cosd(θ), r1/2*sind(θ), :green)
segment(a, a, a + r1/2*cosd(θ + 180), a + r1/2*sind(θ + 180), :green)
end
circlef(a - r2, r2, r2)
circlef(r2, a - r2, r2)
circlef(a/2, a/2, r2)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
# hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
# vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(a, a, "(a,a)", :magenta, :right, :bottom, delta=delta/2)
point(0, 0, "(0,0)", :magenta, :left, delta=-delta/2)
point(r1, 0, "r1", :magenta, :center, delta=-delta/2)
end
end;
draw(1, 1, true)
以下のアイコンをクリックして応援してください
