23 岩手県平泉町字衣ノ関 中尊寺阿弥陀堂（中尊寺地蔵院にて保管） 安政6年(1859)
安富有恒：和算—岩手の現存算額のすべて，青磁社，東京都，1987.
http://www.wasan.jp/iwatenosangaku_yasutomi.pdf
キーワード：円5個，外円，1/3円
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
外円の中に，外円と同じ直径の円弧（周長は外円の 1/3）で区切られた領域に 3 個の等円と 1 個の大円を容れる。外円の直径が与えられたとき，大円の直径を求める術を述べよ。
外円の半径と中心座標を \(R, (0, 0)\)
弧の半径と中心座標を \(R, \left (x_{01}, -\sqrt{R^2 - x_{01}^2}\right ), \left (-x_{01}, -\sqrt{R^2 - x_{01}^2}\right )\)
大円の半径と中心座標を \(r_1, (0, R - r_1)\)
等円の半径と中心座標を \(r_2, (0, r_2 - R), (x_2, y_2)\)
とおき，以下の連立方程式を解く。
図形の対称性より，\(x_2 = x_{01}\) である。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms R::positive, r1::positive, r2::positive, x2::positive, y2::negative, x01::positive, y01::negative
eq1 = (x2 - x01)^2 + (y2 - y01)^2 - (R - r2)^2
eq2 = (x2 + x01)^2 + (y2 - y01)^2 - (R + r2)^2
eq3 = x2^2 + y2^2 - (R - r2)^2
eq4 = x01^2 + (R - r1 - y01)^2 - (R + r1)^2
eq5 = x01^2 + (r2 - R - y01)^2 - (R - r2)^2
eq6 = x01^2 + y01^2 - R^2
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4, eq5, eq6], (r1, r2, x2, y2, x01, y01))[1]
(R*(-3*2^(1/3) + 6*2^(2/3) + 10)/34, R*(2 - 2^(1/3))/2, R*sqrt(4 - 2*2^(1/3))/2, 2^(1/3)*R*(1 - 2^(1/3))/2, R*sqrt(1 - 2^(1/3)/2), -2^(2/3)*R/2)
大円の半径は外円の半径の \( (-3\cdot 2^{1/3} + 6\cdot 2^{2/3} + 10)/34 = 0.463077740062488\) 倍である。
外円の直径が 10 寸のとき，大円の直径は 4.63077740062488 寸である。
ちなみに，小円の直径は 3.70039475052563 である。
# 大円の直径
res[1] |> println
res[1].evalf() |> println
R*(-3*2^(1/3) + 6*2^(2/3) + 10)/34
0.463077740062488*R
術は，\(\displaystyle \left (\frac{3}{\sqrt[3]{16} + 1} + 1\right )\cdot \frac{R}{4}\) である。\(R\) の倍数を簡約化すると上で得られた式と同じになる。
# 術
@syms R, d
apart( (3 / (cbrt(Sym(16)) + 1) + 1)/4, d) |> factor |> println
(-3*2^(1/3) + 6*2^(2/3) + 10)/34
# 小円の直径
res[2] |> println
res[2].evalf() |> println
R*(2 - 2^(1/3))/2
0.370039475052563*R
全てのパラメータは以下のとおりである。
R = 10; r1 = 4.63078; r2 = 3.70039; x2 = 6.08309; y2 = -1.6374; x01 = 6.08309; y01 = -7.93701
\(x_2\) と \(x_{01}\) は全く同じ値である。
x2 = 6.0830870045772265, x01 = 6.0830870045772265
res[3] |> simplify |> println
res[5] |> simplify |> println
R*sqrt(4 - 2*2^(1/3))/2
R*sqrt(4 - 2*2^(1/3))/2
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(R, more)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
(r1, r2, x2, y2, x01, y01) = (R*(-3*2^(1/3) + 6*2^(2/3) + 10)/34, R*(2 - 2^(1/3))/2, R*sqrt(4 - 2*2^(1/3))/2, 2^(1/3)*R*(1 - 2^(1/3))/2, R*sqrt(1 - 2^(1/3)/2), -2^(2/3)*R/2)
@printf("外円の直径が %g のとき，大円の直径は %g，小円の直径は %g である。\n", 2R, 2r1, 2r2)
@printf("R = %g; r1 = %g; r2 = %g; x2 = %g; y2 = %g; x01 = %g; y01 = %g\n", R, r1, r2, x2, y2, x01, y01)
@printf("x2 = %.15g, x01 = %.15g\n", x2, x01)
plot()
circle(0, 0, R)
circle2(x01, y01, R)
circle(0, R - r1, r1, :blue)
circle(0, r2 - R, r2, :green)
circle2(x2, y2, r2, :green)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(x01, y01, " 弧:R,(x01,y01)", :red, :left, :vcenter)
point(x2, y2, "等円:r2\n(x2,y2)", :green, :center, delta=-delta)
point(0, r2 - R, "等円:r2\n(0,r2-R)", :green, :center, delta=-delta)
point(0, R - r1, "大円:r1\n(0,R-r1)", :blue, :center, delta=-delta)
point(0, R, "R", :red, :center, :bottom, delta=delta)
end
end;
draw(10/2, true)
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