七十三 群馬県安中市下後閑 威徳神社 嘉永3年(1850)
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.
キーワード：円5個，正三角形，斜線
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
第七問
「群馬の算額」によれば，「十問あるが文章は不明」とのことであるが，以下のようなものでもあろう。
正三角形の中に大円 1 個，小円 4 個，斜線 3 本を容れる。大円は正三角形の三辺と 3 箇所で接し，正三角形の隅にある小円は正三角形の二辺と大円に接する。また，斜線はそれぞれ正三角形の隅にある小円 2 個と中央にある小円に接する。
正三角形の一辺の長さが与えられたとき，小円の直径はいかほどか。
または，小円の直径が与えられたとき，正三角形の一辺の長さはいかほどか。
正三角形の一辺の長さを \(2a\)
大円の半径と中心座標を \(r_1, (0, 0); r_1 = a/\sqrt{3}\)
小円の半径と中心座標を \(2, (0, r_1 + r_2), (x_2, r_2); r_2 = (a - x_2)/\sqrt{3}\)
とおき，以下の方程式を解き，\(x_2\) を求める。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms a, r1, r2, x2
r2 = (a - x2)/√Sym(3)
eq1 = x2^2 + (r2 - a/√Sym(3))^2 - (a/√Sym(3) + r2)^2
solve(eq1, x2)[2] |> println
2*a/3
\(x_2 = 2a/3\) であり，小円の半径は \(r_2 = (a - x_2)/\sqrt{3} = \sqrt{3}a/9\) である。
正三角形の一辺の長さが 1 のとき，小円の直径は \(\sqrt{3}/9 = 0.19245008972987523\) である。
小円の直径が 1 のとき，正三角形の一辺の長さは 5.196152422706632 である。
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(a, more)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
r1 = a/√3
x2 = 2a/3
r2 = √3a/9 # (a - x2)/√3
@printf("正三角形の一辺の長さが %g のとき，小円の直径は %.15g である。\n", 2a, 2r2)
plot([a, 0, -a, a], [-a/√3, 2a/√3, -a/√3, -a/√3], color=:blue, lw=0.5)
circle(0, 0, r1)
circle(0, 0, r2, :green)
rotate(0, r1 + r2, r2, :green)
segment( (2a/√3 - r1 - r2)/√3, r1 + r2, -a + 2(2a/√3 - r1 - r2)/√3, -a/√3, :orange)
segment(-(2a/√3 - r1 - r2)/√3, r1 + r2, a - 2(2a/√3 - r1 - r2)/√3, -a/√3, :orange)
segment(-a + 2r2/√3, 2r2 - a/√3, a - 2r2/√3, 2r2 - a/√3, :orange)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(0, r1 + r2, " r1+r2", :green, :left, :vcenter)
point(0, 2a/√3, " 2a/√3", :green, :left, :vcenter)
point(a, -a/√3, "(a,-a/√3)", :green, :right, delta=-delta/2)
point(x2, r2 - a/√3, "(x2,r2-a/√3)", :green, :center, delta=-delta/2, deltax=2delta)
ylims!(-a/√3 - 5delta, 2a/√3 + 5delta)
end
end;
draw(1/2, true)
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